曾五一 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 第4章

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1、第四章概率與概率分布1本章主要內(nèi)容：第一節(jié)隨機(jī)事件與概率第二節(jié)隨機(jī)變量及其概率分布第三節(jié)隨機(jī)向量及其分布簡(jiǎn)介2第一節(jié)隨機(jī)事件與概率一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)必須滿足以下的性質(zhì)：（1）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不是唯一的；（2）每次試驗(yàn)之前不能確定何種結(jié)果會(huì)出現(xiàn)；（3）試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行。在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，稱之為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。試驗(yàn)的結(jié)果可能是一個(gè)簡(jiǎn)單事件，也可能是一個(gè)復(fù)雜事件。簡(jiǎn)單事件就是不可以再分解的事件，又稱為基本事件。復(fù)雜事件是由簡(jiǎn)單事件組合而成的事件?；臼录卜Q樣本點(diǎn)，設(shè)試驗(yàn)有n個(gè)基本事件，分

2、別記為(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1,ω2,…，ωn}，稱為樣本空間，Ω中的元素就是樣本點(diǎn)。確定性現(xiàn)象，是指在一定的條件下，其結(jié)果能夠明確預(yù)見的現(xiàn)象。我們把確定性現(xiàn)象的結(jié)果也看作一種特殊的隨機(jī)事件：必然事件，用樣本空間Ω表示。還有一種特殊的隨機(jī)事件：不可能事件；不可能事件就是不可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，用空集Ф表示。“A發(fā)生或B發(fā)生”事件記為A∪B；把“A與B同時(shí)發(fā)生”事件記為A∩B，或AB。如果AB=Ф，稱A與B不相容。二、隨機(jī)事件的概率1.概率的定義概率又稱機(jī)率，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性的度量。如何理解概率？最直觀的辦法就是進(jìn)行重

3、復(fù)試驗(yàn)，通過(guò)試驗(yàn)的頻率來(lái)體現(xiàn)概率。頻率試驗(yàn)結(jié)果如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是有限集合，所有樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，則事件A的概率可根據(jù)以下公式計(jì)算：這樣的概率計(jì)算模型，稱為古典概型。2.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：P(A)≥0；性質(zhì)2：P(Ω)=1。性質(zhì)1稱為概率的非負(fù)性，性質(zhì)2稱為概率的規(guī)范性。性質(zhì)3：若事件A與事件B互不相容，則：P(A∪B)=P(A)+P(B)3．關(guān)于主觀概率一個(gè)事件的概率是人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件發(fā)生可能性所給出的個(gè)人信念，這樣給出的概率稱為主觀概率。自主觀概率提出以來(lái)，使用者越來(lái)越多，特別是在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域和決策分析中，應(yīng)用非常廣

4、泛，因?yàn)樵谀抢镉龅降碾S機(jī)現(xiàn)象大多是不能重復(fù)試驗(yàn)的，無(wú)法通過(guò)頻率來(lái)確定概率。三、條件概率與事件獨(dú)立（一）條件概率已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，我們?nèi)绾卫眠@項(xiàng)信息，求與事件B有聯(lián)系的事件A發(fā)生的概率，這時(shí)所求的概率稱為條件概率。設(shè)A，B為任意兩個(gè)事件，其中，在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記為。條件概率的計(jì)算公式是：從條件概率公式我們可得到以下的“乘法定理”：【例4-4】甲、乙兩企業(yè)存在既競(jìng)爭(zhēng)又合作的關(guān)系，知道甲企業(yè)一年中能推出新產(chǎn)品的概率是20%，乙企業(yè)一年中能推出新產(chǎn)品的概率是18%，兩企業(yè)一年中都能推出新產(chǎn)品的概

5、率是12%。若以A記“甲企業(yè)一年中推出新產(chǎn)品”，B記“乙企業(yè)一年中推出新產(chǎn)品”，則=0.20，=0.18，=0.12。試求：對(duì)于事件A與B，若p(AB)=p(B)p(A)，則稱它們是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱相互獨(dú)立。四、全概率公式與貝葉斯公式（一）全概率公式設(shè)事件A1，A2，…，An是樣本空間的一個(gè)分割，即所有Ai兩兩互不相容，>0，i=1，2，…，n。而且：Ω，則有：這個(gè)公式稱為全概率公式【例4-5】某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%、35%、40%，其次品率分別是5%、4%、2%。從全廠產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)

6、品，該產(chǎn)品是次品的概率是多少？（二）貝葉斯公式在全概率公式的條件下，進(jìn)一步設(shè)，則對(duì)任意的i=1，2，…，n，有：【例4-6】為了提高某產(chǎn)品的質(zhì)量，公司經(jīng)理考慮增加投資改進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備。但從投資效果看，有二種狀況可能發(fā)生：A1：改進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占90%；A2：改進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占70%。按經(jīng)理過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，p(A1)=0.4，p(A2)=0.6；這是事前概率。經(jīng)理為了慎重起見，做了一項(xiàng)小規(guī)模試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果是：改進(jìn)設(shè)備生產(chǎn)五個(gè)產(chǎn)品，全是高質(zhì)量的產(chǎn)品。試問(wèn)該經(jīng)理根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果，會(huì)不會(huì)改變?cè)瓉?lái)的信念？第二節(jié)隨機(jī)變量及其概率分布

7、一、隨機(jī)變量的含義隨機(jī)變量就是其取值帶有隨機(jī)性的變量，在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)定，并且隨試驗(yàn)的結(jié)果而變。隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量；連續(xù)型隨機(jī)變量。二、離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布有以下性質(zhì)：(1)0≤p(xi)≤1(i=1,2,…)；(2)。離散型隨機(jī)變量X的期望值為：方差為：三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)有以下的性質(zhì)：(1)p(x)≥0；(2)；(3)概率的幾何意義正態(tài)分布是最重要的一種連續(xù)型隨機(jī)變量分布，原因有三：第一，它是最常見的一種分布，許多隨機(jī)變量服從或近似

8、服從正態(tài)分布；第二，許多有用的分布可以由正態(tài)分布推導(dǎo)出來(lái)，如卡方分布、t分布和F分布都可由正態(tài)分布導(dǎo)出；第三，正態(tài)分布在一定條件下，還是一些其他分布的近似分布，如大樣本下的t分布與正態(tài)分布近似。正態(tài)分布的密度函數(shù)：?=0