論文正文.doc

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1、畢業(yè)論文對稱性在第一型曲線積分中的應(yīng)用摘要:本文主要討論了對稱性在平面第一型曲線積分和空間第一型曲線中的應(yīng)用,并把關(guān)于原點(diǎn)對稱的結(jié)果推廣到關(guān)于任意點(diǎn)對稱和關(guān)于直線對稱.關(guān)鍵詞:對稱性;曲線積分;連續(xù);光滑曲線引言自然界中有許多事物都具有某種對稱性,具有對稱性的事物不僅看起來美觀,還給我們處理問題帶來了很大方便,對稱性的應(yīng)用十分廣泛,文中有些題目按通常的方法去解決往往比較繁雜,但這時若能恰當(dāng)?shù)乩媚撤N對稱性，就會對我們解決問題提供極大的方便.本文僅就對稱性在第一型曲線積分計算中的應(yīng)用給出幾個結(jié)論,并加以推廣.對稱性在平面第一型曲線積分中的應(yīng)用及其推廣定理1.1

2、設(shè)為定義在二維光滑曲線上的函數(shù),且關(guān)于原點(diǎn)對稱,,若,則;若,則（或）,其中和是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩部分.證明因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱,所以不妨設(shè):,則:,于是有周國園第10頁2021-10-4畢業(yè)論文故當(dāng)時,有;當(dāng)時,有.推論設(shè)在光滑或分段光滑的平面曲線上可積,關(guān)于點(diǎn)對稱.若為關(guān)于點(diǎn)的奇函數(shù),則;若為關(guān)于點(diǎn)的偶函數(shù),則,其中,,為關(guān)于點(diǎn)對稱的一部分.推論設(shè)在上可積,其中為連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段,,若,則;若,則,其中為的一半.推論設(shè)在連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段上連續(xù),則有,為連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段;,為連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段;,為連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段.證明(僅證(3))令,則有周國園第10頁2021

3、-10-4畢業(yè)論文即關(guān)于的中點(diǎn)為奇函數(shù),故由推論1.2知,從而有.定理1.5設(shè)在光滑或分段光滑的若為關(guān)于直線的奇函數(shù),則;若為關(guān)于直線的偶函數(shù),則,其中為在直線一側(cè)的部分.推論設(shè)在光滑或分段光滑的平面曲線上可積,關(guān)于直線對稱,若為輪換奇函數(shù),則;若為輪換偶函數(shù),則,其中為在直線一側(cè)的部分.推論設(shè)在光滑或分段光滑的平面曲線上可積,關(guān)于直線對稱,,若有,則;若有,則,其中為在直線一側(cè)的部分.推論設(shè)在光滑或分段光滑的平面曲線上可積,關(guān)于軸對稱,若為關(guān)于的偏奇函數(shù),則;若為關(guān)于的偏偶函數(shù),則,其中為在上(右)半平面的部分.周國園第10頁2021-10-4畢業(yè)論文推論

4、設(shè)在光滑或分段光滑的平面曲線上可積,關(guān)于直線對稱,,若有,則;若有,則;若有,則,其中為在直線一側(cè)的部分.證明設(shè),,選為參數(shù),有:,,;平面曲線上可積,關(guān)于直線對稱,:,,.則故結(jié)論成立.對稱性在空間第一型曲線積分中的應(yīng)用及其推廣對于空間曲線,許多結(jié)論類似與平面曲線,下面僅給出空間曲線關(guān)于坐標(biāo)平面對稱時的情形.定理2.1設(shè)光滑或分段光滑的空間曲線關(guān)于坐標(biāo)平面對稱,為曲線上的連續(xù)函數(shù),若為關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)平面的奇函數(shù),則;若為關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)平面的偶函數(shù),則,其中為在坐標(biāo)平面一側(cè)的部分.推論設(shè)光滑或分段光滑的空間曲線關(guān)于三個坐標(biāo)平面都對稱,在上連續(xù),周國園第10頁20

5、21-10-4畢業(yè)論文若為偏奇函數(shù),則有;若為三元偶函數(shù),則有,其中為在第一卦限的部分.推論設(shè)光滑或分段光滑的空間曲線關(guān)于平面對稱,在上連續(xù),若為關(guān)于平面的奇函數(shù),則;若為關(guān)于平面的偶函數(shù),則,其中為在平面一側(cè)的部分.應(yīng)用實(shí)例例計算,其中:,由點(diǎn)經(jīng)到.解法一,,,則.解法二關(guān)于軸對稱,而是的奇函數(shù),由推論知.例求曲線積分之值.其中是單位圓周,方向是逆時針的.解積分曲線可分為上、下兩個對稱的部分.在對稱點(diǎn)與上,函數(shù)的大小相等,符號相同,但投影元素在上半圓上為負(fù),下半圓上為正.因此,作為二者的乘積周國園第10頁2021-10-4畢業(yè)論文在上、下半圓上,大小相等,

6、符號相反,兩部部分上的積分彼此抵消,故.類似可知,因此原積分為零.例計算積分,其中:,.解積分曲線,關(guān)于,,有輪換對稱性,因此.例設(shè)、、為一元連續(xù)函數(shù),為奇函數(shù),為球面上,的部分.為的邊界曲線.規(guī)定為上逆時針方向(從軸正向往下看).計算.解令,(旋轉(zhuǎn)),則變成,即.可見這是以軸為對稱軸的直角錐.相當(dāng)于.因此是上，夾在，之間的部分.的邊界分別為周國園第10頁2021-10-4畢業(yè)論文與它們關(guān)于平面對稱.在對稱點(diǎn)上的大小相等,符號相同,而在對稱點(diǎn)上符號相反.因此.類似地有,.故.結(jié)語關(guān)于第二型曲線積分,也有與第一類型曲線積分中相似的結(jié)論,讀者可以自行研究.另外,

7、關(guān)于對稱性在曲面積分、重積分計算中的應(yīng)用問題,我們將另行討論.參考文獻(xiàn)：[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社,1988.[2][德]戴根等.微積分中題解(第一、二卷)[M].人民教育出版社,1981.[3][日]塹江誠夫·桑原等.微積分學(xué)講解[M].四川人民出版社,1983.[4]張人智等.數(shù)學(xué)分析中的問題與例題[M].江西人民出版社,1984.[5]沈樹民等.微積分解題分析(上、下冊)[M].江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,1981.[6]鄒承祖等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].吉林大學(xué)出版社,1986.[7]菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第一、二

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