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1、二次函數(shù)與圓的綜合5．（2012?濟(jì)南）如圖1，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，⊙O1為△ABC的外接圓，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半徑；（3）如圖2，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點(diǎn)，若點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿(mǎn)足△BMN∽△BPC，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．1171131分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）如答圖1所示，由△AOC為等腰直角三角形，確定∠CAB=45°，從而求出其三
2、角函數(shù)值；由圓周角定理，確定△BO1C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長(zhǎng)度；（3）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線(xiàn)段BM的長(zhǎng)度；點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)已知，求出線(xiàn)段BP、BC、PC的長(zhǎng)度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例線(xiàn)段關(guān)系，求出線(xiàn)段BN和MN的長(zhǎng)度；最后利用兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，0），∴，解得a=1，b=4，∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，拋物線(xiàn)解析式為：y=x2+4x+3
3、，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，則△AOC為等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．如答圖1所示，連接O1B、O1C，由圓周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C為等腰直角三角形，∴⊙O1的半徑O1B=BC=．（3）拋物線(xiàn)y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣2．又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2對(duì)稱(chēng)．如答圖2所示，由圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)D、點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴D（﹣
4、4，3）．又∵點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，B（﹣1，0），∴M（，），∴BM==；在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），由兩點(diǎn)間的距離公式得：BP=，BC=，PC=．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：BN=，MN=．設(shè)N（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式可得：，解之得，，，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，試題難度較大．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，需要認(rèn)真分析題意，確定符合條件的點(diǎn)N有兩個(gè)，并畫(huà)出草圖；然后尋找線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，
5、最終正確求得點(diǎn)N的坐標(biāo)． 6．（2011?遵義）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．1171131分析：（1）根
6、據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）從當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°與當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；（3）根據(jù)當(dāng)OE∥AB時(shí)，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；（2）假設(shè)存在，分兩種情況：①當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，∵A
7、（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），∴直線(xiàn)AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3，y=0（不合題意舍去），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴點(diǎn)P、C、D重合，②當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=
8、4，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，5），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1）
