直線和雙曲線的位置關(guān)系(理)

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1、WORD文檔下載可編輯2.71直線與雙曲線的位置關(guān)系【學習目標】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；2.能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題；3.能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.雙曲線的標準方程：

2、焦點在x軸上的雙曲線的標準方程說明：焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2焦點在y軸上的雙曲線的標準方程說明：焦點是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2要點詮釋：求雙曲線的標準方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個方面去思考.“定形”是指對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的具體形式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值.要點二、雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和

3、原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程要點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線交雙曲線于點兩點，則==同理可得這里的

4、求法通常使用韋達定理，需作以下變形：雙曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.要點四、雙曲線的實際應(yīng)用與最值問題對于雙曲線的實際應(yīng)用問題，我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型，一般

5、要先建立直角坐標系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解雙曲線中的最值問題，按照轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種：（1）利用定義轉(zhuǎn)化（2）利用雙曲線的幾何性質(zhì)（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值【典型例題】類型一：雙曲線的方程與性質(zhì)例1.求下列雙曲線的標準方程．(1)與橢圓共焦點，且過點(－2，)的雙曲線；(2)與雙曲線有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線．【解析】(1)∵橢圓的焦點為(0，±3)，∴所求雙曲線方程設(shè)為：，又點(－2，)在雙曲線上，∴，解得a2＝5或a2＝18(舍去)．∴所求

6、雙曲線方程為.(2)∵雙曲線的焦點為(±2，0)，∴設(shè)所求雙曲線方程為：，又點(3，2)在雙曲線上，∴，解得a2＝12或30(舍去)，∴所求雙曲線方程為.【總結(jié)升華】根據(jù)焦點所在軸的位置合理的設(shè)出方程是求雙曲線方程的基本步驟。舉一反三：【變式1】設(shè)雙曲線焦點在x軸上，兩條漸近線為y＝±x，則該雙曲線的離心率為(　　)A．5B.C.D.【答案】C【變式2】（2015安徽卷）下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是（）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由題意：選項中A，B焦點在x軸，排除專業(yè)

7、技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯C項的漸近線方程為，即y＝±2x，故選C.類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系例2．已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點個數(shù).【思路點撥】直線與曲線恰有一個交點，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解.【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x項整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0①(1)當1－k2=0即k=±1時，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個公共點(實質(zhì)上是直線與漸近線平行時的兩種情況，相交但

8、不相切).(2)當1－k2≠0時，即k≠±1，此時有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，則k∈，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點.(3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個公共點(相切的情況).(4)若4－3k2<0且k2≠1則k∈，方程組無解，故直線與雙曲線無交點.綜上所述，當k=±1或k=±時，直線與雙曲線有一個公共點；當k∈時，直線與雙曲