壓縮感知理論綜述(原創(chuàng))

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1、壓縮感知理論綜述摘要：信號(hào)采樣是模擬的物理世界通向數(shù)字的信息世界之必備手段。多年來(lái)，指導(dǎo)信號(hào)采樣的理論基礎(chǔ)一直是著名的Nyquist采樣定理，但其產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)造成了存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)。壓縮感知（CompressedSensing）提出一種新的采樣理論，它能夠以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣速率采樣信號(hào)。本文詳述了壓縮感知的基本理論，著重介紹了信號(hào)稀疏變換、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法三個(gè)方面的最新進(jìn)展，并介紹了壓縮感知的應(yīng)用及仿真，舉例說(shuō)明基于壓縮感知理論的編解碼理論在一維信號(hào)、二維圖像處理上的應(yīng)用。一、引言Nyquist采樣定理指出，采樣速率達(dá)到信號(hào)帶寬的兩倍以上時(shí)，才能由采樣信號(hào)精

2、確重建原始信號(hào)。可見(jiàn)，帶寬是Nyquist采樣定理對(duì)采樣的本質(zhì)要求。然而隨著人們對(duì)信息需求量的增加，攜帶信息的信號(hào)帶寬越來(lái)越寬，以此為基礎(chǔ)的信號(hào)處理框架要求的采樣速率和處理速度也越來(lái)越高。解決這些壓力常見(jiàn)的方案是信號(hào)壓縮。但是，信號(hào)壓縮實(shí)際上是一種資源浪費(fèi)，因?yàn)榇罅康牟恢匾幕蛘咧皇侨哂嘈畔⒃趬嚎s過(guò)程中被丟棄。從這個(gè)意義而言，我們得到以下結(jié)論：帶寬不能本質(zhì)地表達(dá)信號(hào)的信息，基于信號(hào)帶寬的Nyquist采樣機(jī)制是冗余的或者說(shuō)是非信息的。于是很自然地引出一個(gè)問(wèn)題：能否利用其它變換空間描述信號(hào)，建立新的信號(hào)描述和處理的理論框架，使得在保證信息不損失的情況下，用遠(yuǎn)低于Nyquis

3、t采樣定理要求的速率采樣信號(hào)，同時(shí)又可以完全恢復(fù)信號(hào)。與信號(hào)帶寬相比，稀疏性能夠直觀地而且相對(duì)本質(zhì)地表達(dá)信號(hào)的信息。事實(shí)上，稀疏性在現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域起著至關(guān)重要的作用。近年來(lái)基于信號(hào)稀疏性提出一種稱為壓縮感知或壓縮采樣的新興采樣理論，成功實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的同時(shí)采樣與壓縮。簡(jiǎn)單地說(shuō)，壓縮感知理論指出：只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題就可以從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)，可以證明這樣的投影包含了重構(gòu)信號(hào)的足夠信息。在該理論框架下，采樣速率不再取決于信號(hào)的帶寬，而

4、在很大程度上取決于兩個(gè)基本準(zhǔn)則：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距約束性。事實(shí)上，壓縮感知理論的某些抽象結(jié)論源于Kashin創(chuàng)立的范函分析和逼近論，最近由Candes，Romberg,Tao和Donoho等人構(gòu)造了具體的算法并且通過(guò)研究表明了這一理論的巨大應(yīng)用前景。目前國(guó)內(nèi)已經(jīng)有科研單位的學(xué)者對(duì)其展開研究。如西安電子科技大學(xué)課題組基于該理論提出采用超低速率采樣檢測(cè)超寬帶回波信號(hào)。顯然，在壓縮感知理論中，圖像/信號(hào)的采樣和壓縮同時(shí)以低速率進(jìn)行，使傳感器的采樣和計(jì)算成本大大降低，而信號(hào)的恢復(fù)過(guò)程是一個(gè)優(yōu)化計(jì)算的過(guò)程．因此，該理論指出了將模擬信號(hào)直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑

5、。從理論上講任何信號(hào)都具有可壓縮性，只要能找到其相應(yīng)的稀疏表示空間，就可以有效地進(jìn)行壓縮采樣。當(dāng)前，壓縮感知理論主要涉及三個(gè)核心問(wèn)題：　　(1)具有稀疏表示能力的過(guò)完備字典設(shè)計(jì)；　　(2)滿足非相干性或等距約束性準(zhǔn)則的測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)；　　(3)快速魯棒的信號(hào)重建算法設(shè)計(jì)。壓縮感知理論必將給信號(hào)采樣方法帶來(lái)一次新的革命。這一理論的引人之處還在于它對(duì)應(yīng)用科學(xué)的許多領(lǐng)域具有重要的影響，如統(tǒng)計(jì)學(xué)、信息論、編碼等。目前，學(xué)者們已經(jīng)在模擬-信息采樣、合成孔徑雷達(dá)成像、遙感成像、核磁共振成像、深空探測(cè)成像、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、信源編碼、人臉識(shí)別、語(yǔ)音識(shí)別、探地雷達(dá)成像等諸多領(lǐng)域?qū)嚎s感知展開

6、了廣泛的應(yīng)用研究。Rice大學(xué)已經(jīng)成功設(shè)計(jì)出了一種基于壓縮感知的新型單像素相機(jī)，在實(shí)踐中為取代傳統(tǒng)相機(jī)邁出了實(shí)質(zhì)性的一步。本文圍繞稀疏字典設(shè)計(jì)、測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)、重建算法設(shè)計(jì)三個(gè)核心問(wèn)題，綜述了壓縮感知理論以及與之相關(guān)的信號(hào)稀疏變換、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)、重構(gòu)算法等一系列最新理論成果和應(yīng)用研究，描述了國(guó)內(nèi)外的研究進(jìn)展。本文結(jié)構(gòu)安排如下：第2部分闡述了壓縮感知的理論框架；第3部分系統(tǒng)介紹了壓縮感知的三個(gè)核心問(wèn)題，即信號(hào)的稀疏表示、信號(hào)的觀測(cè)矩陣、信號(hào)重構(gòu)算法；第4部分指出壓縮感知有待解決的若干關(guān)鍵問(wèn)題；第5部分介紹了壓縮感知的應(yīng)用及仿真；第6部分對(duì)全文作了總結(jié)。二、壓縮感知理論框架傳統(tǒng)

7、的信號(hào)采集、編解碼過(guò)程如圖l所示：編碼端先對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，再對(duì)所有采樣值進(jìn)行變換，并將其中重要系數(shù)的幅度和位置進(jìn)行編碼，最后將編碼值進(jìn)行存儲(chǔ)或傳輸：信號(hào)的解碼過(guò)程僅僅是編碼的逆過(guò)程，接收的信號(hào)經(jīng)解壓縮、反變換后得到恢復(fù)信號(hào)。采用這種傳統(tǒng)的編解碼方法，由于信號(hào)的采樣速率不得低于信號(hào)帶寬的2倍，使得硬件系統(tǒng)面臨著很大的采樣速率的壓力。此外在壓縮編碼過(guò)程中，大量變換計(jì)算得到的小系數(shù)被丟棄，造成了數(shù)據(jù)計(jì)算和內(nèi)存資源的浪費(fèi)。圖1傳統(tǒng)編解碼理論的框圖壓縮感知理論對(duì)信號(hào)的采樣、壓縮編碼發(fā)生在同一個(gè)步驟，利用信號(hào)的稀疏性，以遠(yuǎn)低于Nyquis