黃崗數(shù)列通項與求和

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1、難點13數(shù)列的通項與求和數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應用.數(shù)列以通項為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項的研究，而數(shù)列的前n項和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項。通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對數(shù)列問題考查中的熱點，本點的動態(tài)函數(shù)觀點解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法.●難點磁場(★★★★★)設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.(1)寫出數(shù)

2、列{an}的前3項.(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程)(3)令bn=(n∈N*)，求(b1+b2+b3+…+bn－n).●案例探究［例1］已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)設數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，都有=an+1成立，求.命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、數(shù)列的極限，以

3、及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項和，實質(zhì)上是該數(shù)列前n項和與數(shù)列{an}的關(guān)系，借助通項與前n項和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準易出錯；(2)問中對條件的正確認識和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.技巧與方法：本題(1)問運用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn}，運用和與通項的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.解：(1)∵a

4、1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1(2)令=dn，則d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),∴dn=an+1－an=2,∴=2,即cn=2·bn=8·(－2)n－1；∴Sn=［1－(－2)n］.∴［例2］設An為數(shù)列{an}的前n項和，An=(an－1)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn

5、=4n+3;(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列{dn}的通項公式為dn=32n+1;(3)設數(shù)列{dn}的第n項是數(shù)列{bn}中的第r項，Br為數(shù)列{bn}的前r項的和；Dn為數(shù)列{dn}的前n項和，Tn=Br－Dn，求.命題意圖：本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.知識依托：利用項與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最

6、基本的知識點.錯解分析：待證通項dn=32n+1與an的共同點易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會使所求的極限模糊不清.技巧與方法：(1)問中項與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3拆解為4－1，再利用二項式定理，尋找數(shù)列通項在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問題便可迎刃而解.解：(1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)，∴an+1－an=(an+1－an)，即=3，而a1=A1=(a1－1)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an

7、}的通項公式an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3，∴32n+1∈{bn}.而數(shù)32n=(4－1)2n=42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)，∴32n{bn}，而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=，∴Br=，●錦囊妙計1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問題時既要注意函

8、數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.2.數(shù)列{an}前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an=3.求通項常用方法①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.