三角形五心和其性質(zhì)

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1、三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。三角形垂心的性質(zhì)　　設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．　　　1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的　　垂心在三角形外.　　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的　　垂心；　　　3、垂心H關(guān)于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上?！　　?、△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF?！　　?、H、A、

2、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。　　　6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓?！　　?、在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC?！　　?、三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍?！　　?、設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA?！　　?0、銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。　　　11、銳角三

3、角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短?！　　?2、西姆松定理（西姆松線）：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。　　　13、設(shè)銳角△ABC內(nèi)有一點T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。垂心的向徑定義　　設(shè)點H為銳角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，　　則h=(tanAa+tanBb+tanCc)/(tanA+tanB+tanC).　　垂心坐標(biāo)的解析解：

4、　　設(shè)三個頂點的坐標(biāo)分別為(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐標(biāo)x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ?！　∑渲?，　　Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]);　　Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);　　Δy=det([x3-x2，(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1，(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3)]);　　垂心的向量特征：三角形ABC內(nèi)一點O，向量

5、OA?OB=OB?OC=OC?OA，則點O是三角形的垂心證明　　由OA?OB=OB?OC，得　　OA?OB-OC?OB=0　　(OA-OC)?OB=0　　CA?OB=0，即OB垂直于AC邊　　同理由OB?OC=OC?OA，可得OC垂直于AB邊　　由OA?OB=OC?OA，得OA垂直于BC邊顯然點O是三角形的垂心三角形的重心　　重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。??三角形重心已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點?！　∽C明：根據(jù)燕尾定理，

6、S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證?！　≈匦牡膸讞l性質(zhì)：　　1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1?！　?.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等?！　?.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小?！　?.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3　　5.重心和三角形3個頂點的

7、連線的任意一條連線將三角形面積平分。　　證明：剛才證明三線交一時已證?！　?.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。其它規(guī)則圖形的重心　　注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細棒，平面圖形指薄板?！　∪切蔚闹匦木褪侨呏芯€的交點。線段的重心就是線段的中點?！　∑叫兴倪呅蔚闹匦木褪瞧鋬蓷l對角線的交點，也是兩對對邊中點連線的交點?！　∑叫辛骟w的重心就是其四條對角線的交點，也是六對對棱中點連線的交點，也是四對對面重心連線的交點?！　A的重心就是圓心，球的重心就是球心?！　″F體的重心是頂點與底面重心連線的四等分點上最接近底面的一個。四面體的重心同時也是每個定點與對面

8、重心連線的交點，也是每條棱與對棱中點確