圓錐曲線中點(diǎn)弦問題

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1、關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例1過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，

2、又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題例2過橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），13則

3、有，兩式相減得，又因?yàn)椋?，所以，所以，而，故。化簡可得（）。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，即，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為（）。三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題例3求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題的一些基本解法。下面我們看一個(gè)結(jié)論引理設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點(diǎn)，P為弦AB

4、的中點(diǎn)，則13。設(shè)A、B則……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（說明：當(dāng)時(shí)，上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點(diǎn)P的切線斜率公式，即）推論1設(shè)圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時(shí)，則過點(diǎn)P的切線斜率為）推論2設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（注：對a≤b也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過點(diǎn)P的切線斜率為）推論3設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過P點(diǎn)的切線斜率為）推論4設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P的切線斜率為我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。例1、

5、求橢圓斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0例2、已知橢圓13A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為T，由題設(shè)可知AB與x軸不垂直，∴，∴∵l⊥AB∴∴l(xiāng)的方程為：令y=0得∴∵∴∴例3、已知拋物線C：，直線要使拋物線C上存在關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，的取值范圍是什么？解：設(shè)C上兩點(diǎn)A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，AB的中點(diǎn)為P（∴∴∵P∈∴∴∴∴∵P在拋物線內(nèi)，∴∴∴∴與拋物線有關(guān)的弦的中點(diǎn)的問題（1）中點(diǎn)弦問題：13（上題麻煩

6、了。是圓不用中點(diǎn)法）例1由點(diǎn)向拋物線引弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析：解決問題的關(guān)鍵是找到弦的端點(diǎn)A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。解法1：利用點(diǎn)差法。設(shè)端點(diǎn)為A，B，則，，兩式相減得，①①式兩邊同時(shí)除以，得，②設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，③又點(diǎn)和點(diǎn)在直線AB上，所以有。④將③、④代入②得，整理得。故得中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。解法2：設(shè)弦AB所在直線的方程為，由方程組消去并整理得，（3）設(shè)A、B、中點(diǎn)，對于方程（3），由根與系數(shù)的關(guān)系，有，∴代入（1）得13故得所求弦中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。

7、評(píng)注：（1）求點(diǎn)的軌跡方程即是求曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，本題所給出的兩種方法，都是找動(dòng)點(diǎn)與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于，的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程。（2）弦中點(diǎn)軌跡問題設(shè)拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點(diǎn)C，則有，（1）－（2）得，∴，將，，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)，并能運(yùn)用。例2已知拋物線，過點(diǎn)作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。解：如圖，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，并設(shè)A、B、M點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，根據(jù)題意設(shè)有，①，②，③，④，⑤④代入①－②得，，∵，∴，⑥

8、⑥代入⑤得，，即。評(píng)注：本題還有其他解答方法，如設(shè)AB的方程為，將方程代入，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦中點(diǎn)的軌跡方程。131313例6求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于，，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物