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《換個角度求平面法向量研究空間夾角問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、換個角度求平面的法向量研究空間夾角問題圖1眾所周知，過一定點與已知非零向量垂直的平面是確定的，也就是說，只要知道一定點和一非零向量，就可以求解出過該定點與已知向量垂直的平面方程.比如已知點與平面，向量（不同時為零），于是可以借助向量垂直求解過點與向量垂直的平面的方程：設(shè)平面內(nèi)的任一點，則，即，整理得，即為所求平面的方程.于是根據(jù)過點與向量垂直的平面的方程的具體形式，若取可知空間內(nèi)任一平面的方程的形式為（不同時為零），從求解可以看出平面方程（不同時為零）中的系數(shù)對應(yīng)的實數(shù)對就是平面的法向量.再者，根據(jù)空間立體幾何知
2、識可知過不共線的三點確定一個平面，也就是說，若過已知一個平面內(nèi)不共線三個點的坐標就可以利用待定系數(shù)法求解這三點所在的平面方程，進而就可以利用此法確定相應(yīng)平面的法向量，研究空間中的夾角（線面角、面面角）問題.例1．（2011年高考全國卷理科第19題）如圖1，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（Ⅰ）證明：；圖2（Ⅱ)求與平面所成角的大小.解析：以點為坐標原點，射線為軸正半軸，建立如圖2所示的直角坐標系.依題意得.設(shè)點，則.由得，即；再由得，即；由得，即，則，即.（Ⅰ）設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由及可得
3、，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.而，即，故；（Ⅱ)設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由及可得，即，取，得.于是平面的方程為，其法向量為，而,設(shè)與平面所成角，則.圖3故與平面所成的角為.例2.（2011年高考遼寧卷理科第18題）如圖3，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．解析：以點為坐標原點，設(shè)，射線為為軸正半軸，建立如圖4所示的空間直角坐標系，依題意可知.（I）)設(shè)平面的方程為（不同
4、時為零），圖4其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為,其法向量為.設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.于是，則，故平面PQC⊥平面DCQ；（II）設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.，而二面角Q—BP—C的平面角為鈍角，故二面角Q—BP—C的余弦值為.鞏固練習：圖51.如圖5，所示，在正方體中，是棱的中點.（Ⅰ
5、）求直線與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結(jié)論.2.如圖6，正方形ABCD和圖6四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。鞏固練習答案：1.（Ⅰ）；（Ⅱ）當點為的中點時平面.2.（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）.
