1.3.2 函數(shù)的奇偶性

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1、1.3.2函數(shù)的奇偶性引例：?jiǎn)栴}１：畫(huà)出函數(shù)f(x)=x2的圖象，并求f(-2),f(2),f(-3),f(3)值．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=２２＝4f(-３)=(-３)2=９f(３)=３2=９f(-2)=f(2)f(-３)=f(３)xyo－３－２２３問(wèn)題２：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x是否存在一個(gè)-x，使f(x)=x2滿足f(-x)=f(x)結(jié)論呢？思考:通過(guò)練習(xí),同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱1、對(duì)定義域中的每一個(gè)x，-x是也在定義域內(nèi)；2、都有f(x)=f(-x)三、偶函數(shù)的

2、定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)（evenfunction）。解:g(-2)=(-2)3=-8g(2)=8g(-1)=(-1)3=-1g(1)=1g(-x)=(-x)3=-x3思考:通過(guò)練習(xí),同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?g(-2)=-g(2)g(-1)=-g(1)g(-x)=-g(x)-xg(-x)xg(x)xyo問(wèn)題３.已知g(x)=x3,畫(huà)出它的圖象,并求出g(-2),g(2),g(-1),g(1)及g(-x)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1、

3、對(duì)定義域中的每一個(gè)x，-x是也在定義域內(nèi)；2、都有f(-x)=-f(x)五、奇函數(shù)的定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(oddfunction)。奇函數(shù)的圖象(如y=x3)偶函數(shù)的圖象(如y=x2)yxoaaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.反之,若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)

4、對(duì)稱.反之,若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).☆對(duì)奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的說(shuō)明:(1).函數(shù)具有奇偶性的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。[a,b][-b,-a]xo(2)如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性。問(wèn)題４：(1)定義在［-2,7］上的函數(shù)f(x)=x2是否是偶函數(shù)？為什么？(2)定義在［-2,2］上的函數(shù)f(x)=x2是否是偶函數(shù)？為什么？練習(xí)1.說(shuō)出下列函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)①f(x)=x4________④f(x)=x-1______

5、____②f(x)=x________奇函數(shù)⑤f(x)=x-2__________偶函數(shù)③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________說(shuō)明：對(duì)于形如f(x)=xn的函數(shù)，若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)為奇函數(shù)∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(

6、x)為偶函數(shù)定義域?yàn)镽解:定義域?yàn)镽即f(-x)=f(x)⑴先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;☆說(shuō)明：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:⑵再判斷f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。xyOxyO1-1-2也可以通過(guò)圖像的對(duì)稱性判斷函數(shù)的奇偶性練習(xí)2.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=x-1x(3)f(x)=5(2)f(x)=x2+2，x∈[-4,4)，若x∈（-4,4）呢？(4)f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶o(jì)yx例2已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如

7、圖，畫(huà)出y=f(x)在y軸左邊的圖象。解：畫(huà)法略例3、研究函數(shù)的性質(zhì)并作出它的圖像解：已知函數(shù)的定義域是x≠0的實(shí)數(shù)集，即｛x∈R

8、x≠0｝分析略：請(qǐng)一位同學(xué)一邊分析，一邊畫(huà)出函數(shù)圖像來(lái)！x…-3-2-1…0…123…y…14…不存在…41…由圖像可以看出這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么？練習(xí)5如圖是奇函數(shù)y=f(x)圖象的一部分，試畫(huà)出函數(shù)在y軸左邊的圖象。xy0練習(xí)3已知y=f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+2x-1，求函數(shù)的表達(dá)式。本課小結(jié):1.兩個(gè)定義:對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,如果都有

9、f(-x)=-f(x)f(x)為奇函數(shù)。如果都有f(-x)=f(x)f(x)為偶函數(shù)。2.兩個(gè)性質(zhì):一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。