旋轉(zhuǎn)體體積與旋轉(zhuǎn)軸之間關(guān)系

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1、旋轉(zhuǎn)體體積與旋轉(zhuǎn)軸之間關(guān)系:新課改的主要特點(diǎn)之一就是讓學(xué)生自主學(xué)習(xí),自主探究。在平常的教學(xué)過程中,教師可以參考教科書里面的習(xí)題,給學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)探究的平臺(tái)?! £P(guān)鍵詞:學(xué)生;探究;學(xué)習(xí) ?。篏633.63:A:1002-7661(2011)07-184-02    新課改的主要特點(diǎn)之一就是讓學(xué)生自主學(xué)習(xí),自主探究。在平常的教學(xué)過程中,教師可以參考教科書里面的習(xí)題,給學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)探究的平臺(tái)。下面我將自己在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生探究的一例與大家共同分享。例如,在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書--數(shù)學(xué)2的第32頁,(習(xí)題1.3B組)第3題,從原有問題出發(fā),通過學(xué)生自發(fā)探究,研究了三角形沿各邊所在直線旋轉(zhuǎn)所成

2、幾何體的體積與旋轉(zhuǎn)軸之比成反比這一結(jié)論,進(jìn)而探究旋轉(zhuǎn)體體積與旋轉(zhuǎn)軸之間關(guān)系。下面給出探究過程如下:  原題:分別以一個(gè)直角三角形的斜邊、兩直角邊所在直線為軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體,畫出他們的三視圖和直觀圖,并探討他們體積之間的關(guān)系。  分析:本題為B組題目,要求學(xué)生有一定的知識(shí)基礎(chǔ),但為了教學(xué)時(shí)能照顧到多數(shù)學(xué)生,我們先以一個(gè)特殊的直角三角形為例來開始探究:如圖所示直角三角形ABC,  AC=5,BC=12,AB=13,AB邊上的高CD=  先通過學(xué)生小組討論,,提出各個(gè)旋轉(zhuǎn)體的求法?! 〉谝粋€(gè)旋轉(zhuǎn)體:體積1:以AC邊為旋轉(zhuǎn)軸,所成幾何體如圖所示,其體積為V1:  r=BC

3、=12h=AC=5  V1=sh  =兀r2h  =兀144×5=240兀  第二個(gè)旋轉(zhuǎn)體:體積2:以BC邊為旋轉(zhuǎn)軸,所成體積如圖所示,其體積為V2  r=AC=5h=BC=12  V2=兀r2h  =兀25×12  =100?! 〉谌齻€(gè)旋轉(zhuǎn)體:  體積3:以AB邊為旋轉(zhuǎn)軸,所成幾何體如圖所示,其體積為V3  r=CD=h1=ADh2=BD  V3=V上V下  =sh上sh下  =s(h上h下)  =s×AB=兀(6013)2×13=  結(jié)論:V1:V2=240兀:100兀=12:5=BC:AC;V2:V3=100兀:(1200兀13)=13:12=AB:BC;  V1:V3=240兀:

4、(1200兀

5、13)=13:5=AB:AC  通過本題直角三角形的探討,教師可以讓學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行如下猜想:如圖4所示的一般銳角三角形ABC  各邊為a、b、c各邊高為BF、AE、CD,是否也會(huì)滿足這種比例關(guān)系?{說明:證明時(shí)需用正弦定理a/Sin=b/SinB=c/SinC,如果學(xué)校教學(xué)安排為必修系列14532的話,學(xué)生有此基礎(chǔ),否則需要教師輔助}這時(shí),小組中分析能力較強(qiáng)的學(xué)生給出下列情形,進(jìn)行探討。探究結(jié)果:  1、以AB(AB=c)為旋轉(zhuǎn)軸,所成幾何體如圖所示,其體積為V1  r=CD=SinAbh1=BDh2=AD  V1=sh11/3sh2  =s(h1h2)  =CD2×?!罙

6、B  =(SinAb)2兀×c  =(SinA)2×b2×c?! ?、以BC(BC=a)旋轉(zhuǎn)軸,所成幾何體如圖所示,其體積為V2  r=AE=SinBch1=BEh2=CE  V2=sh11/3sh2  =s(h1h2)  =AE2×?!罛C  =(SinBc)2×?!羇  =(SinB)2×c2×a?! 1:V2=[13(SinA)2×b2×c兀][13(SinB)2×c2×a兀]  =[(SinA)2×b2][(SinB)2×c×a]  =[(SinA)2×(a×SinBSinA)2]/[(SinB)2×c×a]  =a/c  3、以AC(AC=b)為旋轉(zhuǎn)軸所成幾何體如圖所示

7、,其體積為V3  同理得證:V2:V3=b/aV1:V3=c/b  探究結(jié)論:銳角三角形沿各邊所在直線旋轉(zhuǎn)所成幾何體的體積與旋轉(zhuǎn)軸之比成反比。而后學(xué)生又提出要研究鈍角三角形、梯形等沿各邊為旋轉(zhuǎn)軸所成幾何體的體積之比同樣與旋轉(zhuǎn)軸成反比,可以留作課后的探究活動(dòng),在此不再贅述?! ⊥ㄟ^課本習(xí)題的拓展探究,不僅落實(shí)了新課改的要求,而且學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有了很大提升,不失為一個(gè)比較好的嘗試。請(qǐng)各位教育同仁不吝指教。    注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文

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