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《矩陣的特征值和特征向量》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第7章矩陣的特征值和特征向量很多工程計算中，會遇到特征值和特征向量的計算，如：機械、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題；物理學中的各種臨界值等。這些特征值的計算往往意義重大。特征值：的根為矩陣A的特征值特征向量：滿足的向量v為矩陣A的對于特征值的特征向量稱為矩陣A的特征多項式是高次的多項式，它的求根是很困難的。沒有數(shù)值方法是通過求它的根來求矩陣的特征值。通常對某個特征值，可以用些針對性的方法來求其近似值。若要求所有的特征值，則可以對A做一系列的相似變換，“收斂”到對角陣或上（下）三角陣，從而求得所有特征值的近似。7.1冪法矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。
2、如：矩陣的譜半徑。冪法就是一種求矩陣按模最大特征值的方法，它是最經(jīng)典的方法。冪法要求A有完備的特征向量系。即A有n個線性無關(guān)的特征向量。在實踐中，常遇到的實對稱矩陣和特征值互不相同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)A的特征值和特征向量如下：特征值：特征向量：冪法可以求，基本思想很簡單。設(shè)線性無關(guān)，取初值，作迭代設(shè)：則有：（1）若：則k足夠大時，有可見幾乎僅差一個常數(shù)所以：任意分量相除特征向量乘以任意數(shù)，仍是特征向量（2）若：則k足夠大時，有所以：所以：這樣，我們有算法：1、給出初值，計算序列2、若序列表現(xiàn)為，相鄰兩個向量各個分量比趨向于常數(shù)，則3、若序列表現(xiàn)為，
3、奇偶序列各個分量比趨向于常數(shù)，則4、若序列表現(xiàn)為其他，退出不管求矩陣A的按模最大的特征值解取x(0)=(1,0)T,計算x(k)=Ax(k-1),結(jié)果如下例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取??0.41263,x1?(0.017451,0.014190)T.在冪法中，我們構(gòu)造的序列可以看出因此，若序列收斂慢的話，
4、可能造成計算的溢出或歸0改進－冪法的規(guī)范運算則，易知：所以，有：最大分量為1即（1）若：時，有時，有收斂分別收斂反號的兩個數(shù)（2）若：分別收斂到兩個數(shù)，且絕對值不同。求：則：這樣，我們有算法：1、給出初值，計算序列2、若序列收斂，則3、若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個數(shù)絕對值相同，則4、若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個數(shù)絕對值不同，則決定收斂的速度，特別是
5、?2/?1
6、希望
7、?2/?1
8、越小越好。不妨設(shè)?1>?2?…??n，且
9、?2
10、>
11、?n
12、。?1?2?nOp=(?2+?n)/2思路令B=A?pI，則有
13、?I?A
14、=
15、?I?(B+pI)
16、=
17、(??p
18、)I?B
19、??A?p=?B。而，所以求B的特征根收斂快。反冪法所以，A和A－1的特征值互為倒數(shù)這樣，求A－1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值為避免求逆的運算，可以解線性方程組若知道某一特征根?i的大致位置p，即對任意j?i有
20、?i?p
21、<<
22、?j?p
23、，并且如果(A?pI)?1存在，則可以用反冪法求(A?pI)?1的主特征根1/(?i?p)，收斂將非?？臁Ｋ悸?.1Jacobi方法－對稱陣P為n階可逆陣，則A與P－1AP相似，相似陣有相同的特征值。若A對稱，則存在正交陣Q(QTQ=I)，使得直接找Q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正
24、交陣Q1,...,Qn對A作正交變換使得對角元素比重逐次增加，非對角元變小。當非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，可以近似認為對角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是這樣一類方法。1、Givens旋轉(zhuǎn)變換對稱陣為正交陣p列q列記：則：變換的目的是為了減少非對角元的分量，則記則的按模較小根所以：2、Jacobi迭代取p,q使，則定理：若A對稱，則解記A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例用Jacobi方法計算對稱矩陣的全部特征值.從而有所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得從而A的
25、特征值可取為?1?2.125825,?2?8.388761,?3?4.485401為了減少搜索非對角線絕對值最大元素時間,對經(jīng)典的Jacobi方法可作進一步改進.1.循環(huán)Jacobi方法:按(1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3),(2,4),…,(2,n),…,(n-1,n)的順序,對每個(p,q)的非零元素apq作Jacobi變換,使其零化,逐次重復掃描下去,直至?(A)
26、?1時,再換下一個關(guān)卡值?2,直到關(guān)卡值小于給定的精度?.
