李潔指數(shù)分布總體的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用

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1、高等教育自學(xué)考試畢業(yè)論文指數(shù)分布總體的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用Parameterestimationandapplicationofexponentialdistribution李潔Lijie專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)主考學(xué)校:蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院準(zhǔn)考證號(hào):432412205023指導(dǎo)教師姓名職稱：牛明飛甘肅省高等教育自學(xué)考試辦公室印制年月日摘M1弓IB11指數(shù)分布總體的參數(shù)估計(jì)21.1指數(shù)分布的概念21.2極大似然估計(jì)法32指數(shù)分布總體的應(yīng)用62.1概率與生活的關(guān)系62.2分布總體的概念72.3指數(shù)分布與生活72.4指數(shù)分

2、布的具體應(yīng)用8參考文獻(xiàn)11指數(shù)分布總體的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用摘要隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展和人類文明的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)這門古老而傳統(tǒng)的學(xué)科正在越來越顯示出它的強(qiáng)大威力和實(shí)用價(jià)值。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)年輕的分支，概率統(tǒng)計(jì)更是如此。在我們的生活中概率統(tǒng)計(jì)可以說是無處不在，大到國(guó)家預(yù)算、小到家庭生活中都有。在概率論中，指數(shù)分布是可靠性工程中一種有用的失效分布，還被常用于描述伺服機(jī)構(gòu)、車輛、電子產(chǎn)品等的壽命，運(yùn)用十分廣泛。指數(shù)分布不僅在生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用，而且在科學(xué)研究中有極其重要而特殊的作用。估計(jì)問題是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本問題之一，其中的

3、極大似然估計(jì)法是一種理論上較為優(yōu)良、應(yīng)用范圍較為廣泛的估計(jì)方法，因而在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的參數(shù)估計(jì)中占有極為重要的地位。關(guān)鍵字：指數(shù)分布；極大似然估計(jì)；壽命分布；指數(shù)分布總體引言概率統(tǒng)計(jì)中有許多重要的分布。比如正態(tài)分布、泊松分布、幾何分布、卡方分布等。其中指數(shù)分布就是最重要的分布之一。指數(shù)分布由于形式簡(jiǎn)潔、性質(zhì)良好，所以經(jīng)常被應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域。指數(shù)分布函數(shù)的一個(gè)重要特征是無記憶（MemorylessProperty,又稱遺失記憶性）。估計(jì)問題是統(tǒng)計(jì)學(xué)的棊本問題之一。在許多情形中，我們已經(jīng)對(duì)總體的分布形式冇所了解，但對(duì)分布中

4、的參數(shù)缺乏認(rèn)識(shí)，需要通過樣本信息對(duì)參數(shù)進(jìn)行判斷。設(shè)總體X服從F&,其中0為未知參數(shù)，如何通過樣本信息來估計(jì)么這類問題即是參數(shù)參數(shù)估計(jì)問題。在概率論屮，已經(jīng)涉及到參數(shù)估計(jì)。如捕魚問題，需要估計(jì)魚池中魚的總條數(shù)N,而N正是超幾何分布中的參數(shù)。又如一次合格的考試，學(xué)生成績(jī)應(yīng)當(dāng)服從正態(tài)分布N（//，ct2）,通過抽樣，如何利用祥本信息來估計(jì)參數(shù)//，滬亦是參數(shù)估計(jì)的問題。在生存分析和保障精算中，指數(shù)分布就是一種重要的參數(shù)模型，既然指數(shù)分布如此重要，那就有必要對(duì)它進(jìn)行詳細(xì)的研究。同時(shí)指數(shù)分布由于只有一個(gè)參數(shù)，所以對(duì)這個(gè)唯

5、一參數(shù)的估計(jì)問題也顯得非常重要了。本文就是對(duì)指數(shù)分布的一些特殊問題進(jìn)行了較為深入的研宂，并在若干情形下對(duì)指數(shù)分布唯一的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。在概率論中，有一種估計(jì)參數(shù)的方法叫極大似然估計(jì)法。即人概率事件在一次試驗(yàn)屮幾乎必然發(fā)生，反過來理解，一次試驗(yàn)就發(fā)生的事件往往可以理解為大概率事件。上面提到的捕魚問題，正是用這樣的思想和方法求出了魚池中的總數(shù)N，這種方法正體現(xiàn)了極大的思想。所謂極大似然法，就是以最大的概率來保證估計(jì)的正確性的統(tǒng)計(jì)估值方法。1指數(shù)分布總體的參數(shù)估計(jì)1.1指數(shù)分布的概念設(shè)隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為=(Ae

6、Jx>0(A>0)Io,J<0則稱4服從參數(shù)為/l的指數(shù)分布。指數(shù)分布也是概率統(tǒng)計(jì)屮的一類重要分布，不僅在生產(chǎn)實(shí)踐屮有廣泛應(yīng)用,而且在科學(xué)研究中有極其重要的作用，關(guān)鍵在于它具有“無記憶性”。設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為/I的指數(shù)分布，則對(duì)于任意的s〉0,t〉0,冇/>S+t}_1-F(54-t)>s]~1-F(s)-As=e—At如果把f理解為壽命，則上式表明，無論某種產(chǎn)品被使用了多長(zhǎng)一段時(shí)間s，只要還沒有損壞，它能再使用一段時(shí)間t的概率與一件新產(chǎn)品能使用到時(shí)間t的概率一樣，即這種產(chǎn)品是“永遠(yuǎn)年輕”的。這一點(diǎn)也說明以指

7、數(shù)分布作為壽命分布是有缺陷的。盡管如此，在很多場(chǎng)合人們還是愿意采用這種易于計(jì)算的分布作為產(chǎn)品使用壽命的模型。例1.一個(gè)使用了t小時(shí)的熱敏電阻在AZ內(nèi)失效的概率是/lAf+(X/U)。設(shè)該熱敏電阻的使用壽命是連續(xù)行隨機(jī)變量，求該熱敏電阻的使用壽命分布。解：用f表示該熱敏電阻的使用壽命，要求的是FGO=pfc<由題意得p{tt-Ar}對(duì)于t〉0,當(dāng)于是對(duì)上面兩式，均

8、除以AZ，在令A(yù)Z+0，得，:⑴W7兩端積分得t為常數(shù)。再利用穴0)=c=1,立即可得，抑)=e_u，于是F(t)=求導(dǎo)后得密度函數(shù)/>(,)=C，即為指數(shù)分布。1.2極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一種統(tǒng)計(jì)方法，它最早是由高斯(C.F.Gauss)捉出的，后來費(fèi)舍爾(R.A.Fisher)重新捉出，并且證明了這個(gè)方法的一些性質(zhì)。極人似然原理的基本原理的基本思想