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《伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要：伴隨矩陣是矩陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)屮的一個(gè)基本概念,是許多數(shù)學(xué)分支研宄的重要工具。伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類，其理論和應(yīng)用有自身的特點(diǎn).而在大學(xué)的學(xué)習(xí)中，伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的，并沒(méi)有深入的研究.本文分類研究伴隨矩陣的性質(zhì)，并討論其證明過(guò)程,得到一系列有意義的結(jié)論。（1）介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基木性質(zhì)；（2）研宄數(shù)乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣的伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)及伴隨矩陣在逆等方面的運(yùn)算性質(zhì)；（3）研究矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，主要介紹由矩陣的對(duì)稱性、正定性、奇異性
2、、正交性推出伴隨矩陣的對(duì)稱性、正定性、奇異性、正交性；⑷研究伴隨矩陳間的關(guān)系性質(zhì)，主要研究由兩矩陳的相似、合同等關(guān)系推出對(duì)應(yīng)的兩伴隨矩陣之間的關(guān)系；（5）研究伴隨矩陣在特征值與特征向量等方面的性質(zhì);（6）給出m重伴隨矩陣的定義及其一般形式，研宄m重伴隨矩陣的相應(yīng)的性質(zhì)。木文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于研究了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)。矩陣是高等代數(shù)學(xué)屮的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科屮。在物理學(xué)屮，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫(huà)制作也需要用到矩陣。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)
3、無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。然而伴隨矩陣在矩陣中占據(jù)著比較特殊的位置，通過(guò)它可以推導(dǎo)出逆矩陣的計(jì)算公式，使方陣求逆的問(wèn)題得到解決，伴隨矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用冇著與眾不同的特點(diǎn)。在矩陣計(jì)算及討論中，常常會(huì)遇到伴隨矩陣，但對(duì)伴隨矩陣的一些性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)討論的卻很少，以下將主要針對(duì)伴隨矩陣的各種性質(zhì)及應(yīng)用討論。關(guān)鍵詞：伴隨矩陣可逆矩陣方陣性質(zhì)1、伴隨矩陣的定義定義1.設(shè)是矩陣A=????番??蠢??參??參??參?_anan2'A,A2A/：A21A”AinA*:?????參拳拳參???????????稱為A的伴隨矩陣。?4,?
4、????????nna\a2aina2n；中元素％的代數(shù)余子式，則矩陣定義2.設(shè)A為n階方陣，如果有矩陣B滿足AB=BA=E，則B就稱為A的逆矩陳，記為B=A一*。*注意：只有方陣才有伴隨矩陣和逆矩陣。2、伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)A為n階方陣，AA*=A'A=
5、A
6、E0000d其中心
7、斗d00d證明：由行列式按一列（行）展開(kāi):AA'=A*A=;:??????00性質(zhì)2.n階矩陣A可逆的充分必要條件是矩陣A非退化證明：若4判，則A可逆，且;反之，若a可逆，則有aa4=e，所以IaTHaIIa'HilAl故
8、A
9、=0.即
10、A非退化。性質(zhì)3.1.若A為非奇異矩陣，則=（A*）-1.證明：因?yàn)椋∕）-1二丄/r1,由性質(zhì)2兩邊取逆可得A=
11、A
12、(A*r1故⑷―丨二另一方面，由性質(zhì)2有（/T1）=—^(A'1)*=
13、A
14、(A-1)*=>(A-1)*=^A?11^1n,當(dāng)秩A=時(shí)性質(zhì)3.2.設(shè)A為n階矩陣，則秩T=1,當(dāng)秩=時(shí).0,當(dāng)秩—2時(shí)證明：（1）當(dāng)秩A=n時(shí)，則
15、ApO,A是可逆的，即有存在，所以/C=17^'可見(jiàn)，秩，=八。反之，當(dāng)秩A*=ri時(shí)，/C可逆時(shí)，則有（A*）"1存在，所以（?V）_I，有
16、a
17、#0，因A=0,從而A*=0，
18、這與秩A*=Z1矛盾，所以
19、a
20、#o,于是秩（A）-n；（2）當(dāng)秩（A）=m-1時(shí)，則A必有一個(gè)n-1階子式不為0，即A"中至少有一個(gè)元素不為0，所以，秩（A'）21，另外秩（A）=，卜1.則A=0,于是，兒＜:‘=AE=0.從而，秩（A）+秩（/T）。，故秩（/T）《l.這便知秩（A]=l.反之，若秩（？f）=l，則A*中必有一個(gè)人關(guān)0,即是說(shuō)A必有一個(gè)n-1階子式不為零，故秩A2n-1但不能有秩（A）=n，否則，有秩/T=Z7，而"22,這樣與秩（/C）=l矛盾，所以秩（A）n,則（A）—19因此，秩（A）—n—.
21、（3）當(dāng)秩（A）22、A*
23、=
24、A
25、W'其屮A是n階方陣（n>2）.證明：若
26、a卜0，???aa*=
27、a
28、e，W=
29、x
30、"=>
31、a
32、
33、々+
34、=卜
35、"=>
36、=
37、a
38、若
39、a
40、=o,這時(shí)秩a+41、=o,而也有人1=
42、/1
43、
44、"一1綜合得1，卜
45、A
46、"性質(zhì)6.若A是n階非零實(shí)矩陣，，=/T，則0.證明：用反證法，若欠=（），則兒4Z=A/V=
47、^
48、￡=0,令一方面，設(shè)/?nxnnE%2i=l??攀????????????1>2,2???蠡參參參?AA'=AA^=參參參，=1參參參?參?????0?=0參參???參參參???參?????
