數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式

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1、數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式1.體會遞推公式是數(shù)列的一種表示方法．2.理解遞推公式的含義，能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．3.掌握由一些簡單的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.1.對通項(xiàng)公式及遞推公式的考查是本課的熱點(diǎn)．2.本課時的內(nèi)容常與函數(shù)，不等式結(jié)合命題．3.多以選擇題，解答題的形式考查.1．?dāng)?shù)列的單調(diào)性在數(shù)列{an}中，若an＋1an，則{an}是遞增數(shù)列；若an＋1an，則{an}是遞減數(shù)列；若an＋1an，則{an}是常數(shù)列．2．?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))(n≥2，n∈N*)間的關(guān)系可以用一個公

2、式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的公式．><＝an－1遞推3．通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系通項(xiàng)公式項(xiàng)an是序號n的函數(shù)式an＝f(n)都可以確定數(shù)列遞推公式已知a1及相鄰項(xiàng)間的關(guān)系式1．已知數(shù)列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．則a6＝()A．7B．11C．16D．17解析：∵a1＝1，an－an－1＝n－1∴a2－a1＝1a3－a2＝2a4－a3＝3a5－a4＝4a6－a5＝5累加得a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5∴a6＝1＋15＝16.故選C.答案：C2．?dāng)?shù)列2,4,6,8,10，…的遞推公式是()A．a(chǎn)n＝an－1＋2(n≥2)B．a(chǎn)n＝2an－1(

3、n≥2)C．a(chǎn)1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a(chǎn)1＝2，an＝2an－1(n≥2)解析：a2－a1＝2a3－a2＝2a4－a3＝2a5－a4＝2∴an－an－1＝2，即an＝an－1＋2(n≥2)，故選C.答案：C答案：遞減4．已知a1＝1，an＋1＝2an，(1)寫出數(shù)列的前五項(xiàng)；(2)求數(shù)列的一個通項(xiàng)公式．已知數(shù)列的遞推公式，求前幾項(xiàng)例1:已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋1，n∈N*.(1)若a1＝－1，寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)，并推測數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)若a1＝1，寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)，并推測數(shù)列的通項(xiàng)公式．可推測數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－1.(2)a1＝1，a2＝2×1

4、＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15.可推測數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，數(shù)列的遞推公式是由遞推關(guān)系式(遞推)和首項(xiàng)(基礎(chǔ))兩個因素所確定的，即便遞推關(guān)系完全一樣，而首項(xiàng)不同就可得到兩個不同的數(shù)列．1－1.根據(jù)下列各數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，分別寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)．題型2已知遞推公式，用累加法求通項(xiàng)公式例2：已知數(shù)列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．思維突破

5、：先對an＝an－1＋3從2到n進(jìn)行取值，得到(n－1)個式子，再把這(n－1)個式子相加，消去中間項(xiàng)．解：由遞推關(guān)系an＝an－1＋3(n≥2)，得a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋3.將以上(n－1)個式子左右兩邊同時相加，得a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理得an＝a1＋3(n－1)．∵a1＝5，∴an＝3n＋2.若數(shù)列有形如an＋1＝an＋f(n)的遞推公式，且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通項(xiàng)公式．例3設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足關(guān)系：an＝3an＋

6、1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．題型3已知遞推公式，用累乘法求通項(xiàng)公式[題后感悟]由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式是數(shù)列的重要問題之一，是高考考查的熱點(diǎn)．已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，可把每相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系列出來，抓住它們的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚恚稳鏰n－an－1＝f(n)的題目可用累加法．1．準(zhǔn)確理解數(shù)列的遞推公式的概念遞推公式是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.用遞推公式給出一個數(shù)列，必須給出以下兩點(diǎn)：(1)“基礎(chǔ)”——數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)；(2)遞推關(guān)系——數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))之間的

7、關(guān)系，并且這個關(guān)系可以用一個公式來表示．如果兩個條件缺一個，數(shù)列就不能確定．3．與數(shù)列遞推公式有關(guān)的問題數(shù)列遞推公式的主要題型：(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式和第1項(xiàng)(或其他項(xiàng))求數(shù)列的前幾項(xiàng)；(2)根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【錯因】上述解法中誤認(rèn)為a>0，而對于非零實(shí)數(shù)a，應(yīng)討論a>0或a<0兩種情況．練考題、驗(yàn)?zāi)芰Α⑤p巧奪冠