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《2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東預(yù)賽試題及解答》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省預(yù)賽試題（考試時(shí)間：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分．把答案填在橫線上1.已知，則.答案：（或）解:2.函數(shù)的最小值等于.答案：1解：因?yàn)樗缘淖钚≈禐?.3.已知，其中為常數(shù)，且.若為常數(shù)，則的值為.答案：解：由于是常數(shù)，故，且.將代入整理得，分解因式得.若，則，因此，與條件相矛盾.故，即.64.已知方程有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.答案：解法一：令，則原方程化為.根據(jù)題意，方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根.令，則解法二：令，則原方程化為.注意到這個(gè)關(guān)于的方程最
2、多有兩個(gè)解，而由嚴(yán)格單調(diào)遞增知每個(gè)最多對(duì)應(yīng)一個(gè)，因此所求的應(yīng)當(dāng)使有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解，且滿足的兩個(gè)實(shí)數(shù)都是正的.由于都是正的，故都應(yīng)大于1.由于，故，因此必須滿足，及.因此的取值范圍為.因此的取值范圍為.5.將25個(gè)數(shù)排成五行五列：已知第一行,,,,成等差數(shù)列，而每一列，，，，（）都成等比數(shù)列，且五個(gè)公比全相等.若,,,則的值為_(kāi)_____.答案：解：可知每一行上的數(shù)都成等差數(shù)列，但這五個(gè)等差數(shù)列的公差不一定相等.6由,知且公差為6，故,.由,知公比.若，則,，故；若，則,，故.6.設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為_(kāi)_____.解：.函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖
3、象關(guān)于對(duì)稱.函數(shù)上的點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)函數(shù).由圖象關(guān)于對(duì)稱得：最小值為.7.將2個(gè)和2個(gè)共4個(gè)字母填在4×4方格表的16個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填一個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法種數(shù)共有.答案：3960解：使得2個(gè)既不同行也不同列的填法有種，使得2個(gè)既不同行也不同列的填法有種，故由乘法原理，這樣的填法共有種.其中不合要求的有兩種情況：2個(gè)所在的方格內(nèi)都填有的情況有72種；2個(gè)所在的方格內(nèi)恰有1個(gè)方格填有的情況有種.所以，符合條件的填法共有種.68.一個(gè)直角梯形的上底比下底短，該梯形繞它的上底旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，該梯形繞它的下底旋
4、轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，該梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則該梯形的周長(zhǎng)為.答案：.解：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為，高為，則梯形繞上底旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，因此，即.同理有，兩式相除得，去分母化簡(jiǎn)得，代入得.注意到直角腰長(zhǎng)等于高，梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái)，其體積為.將代入化簡(jiǎn)得.結(jié)合可解得，因此，由勾股定理知另一條腰的長(zhǎng)度為，因此梯形的周長(zhǎng)為.二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．1．（本小題滿分16分）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，證明：直線的斜率滿足.解
5、法一：設(shè).由，有，即.……4分從而所以，，且.所以，……16分6解法二：設(shè).則線段的中點(diǎn)...……8分.……16分2．（本小題滿分20分）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足.求的最大值.解：不妨設(shè).顯然有，.……………5分根據(jù)AM-GM不等式可得……………15分所以S的最大值為12，這時(shí).……………20分3．（本小題滿分20分）求出所有的函數(shù)使得對(duì)于所有，，都能被整除.解：根據(jù)題目的條件，令，則能被整除.因此能被整除，也就是能被整除.因?yàn)榕c互素，所以能被整除，且，所以，.……………10分令，則能被整除，因此.從而，6對(duì)所有x.令，則能被整除.從而，對(duì)所有y.綜上所述，，對(duì)所有x
6、.……………20分6
