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《數(shù)值分析插值學習報告》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在學術論文-天天文庫。
1、插值法及其應用研究第一章插值法的描述一、插值法的簡介在許多實際問題及科學研允中，因素之間往往存在著函數(shù)關系，然而，這種關系經(jīng)常很難有明顯的解析表達，通常只是由觀察與測試得到一些離散數(shù)值。有時，即使給出了解析表達式，卻由于表達式過于復雜，不僅使用不便，而且不易于進行計算與理論分析。解決這類問題的方法有兩種：一種是插值法，另一種是擬合法。插值法是一種古老的數(shù)學方法，它來自生產(chǎn)實踐，早在一千多年前，我國科學家在研究歷法上就應用了線性插值與二次插值，但它的基本理論卻是在微積分產(chǎn)生之后才逐漸完善的，其應用也日益增多，特別是在計算機軟件中，許多庫函數(shù)，如sinx，C
2、osxxv等的計算實際上歸結于它的逼近函數(shù)的計算。逼近函數(shù)一般為只含有算術運算的簡單函數(shù)，如多項式、有理分式(即多項式的商)。在工程實際問題當中，我們也經(jīng)常會碰到諸如此類的函數(shù)值計算問題。被計算的函數(shù)有時不容易直接計算，如表達式過于復雜或者只能通過某種手段獲取該函數(shù)在某些點處的函數(shù)值信息或者導數(shù)值信息等。因此，我們希望能用一個“簡單函數(shù)”逼近被計算函數(shù)，然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計算函數(shù)的函數(shù)值。這種方法就叫插值逼近或者插值法。插值法要求給出函數(shù)的一個函數(shù)表，然后選定一種簡單的函數(shù)形式，比如多項式、分段線性函數(shù)及三角多項式等，通過己知的函數(shù)表來確
3、定一個簡單的函數(shù)P(x)作為/(%)的近似，概括地說，就是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型。［法的相關概念插值法又稱“內插法”，是利用函數(shù)/(%)在某區(qū)間屮若干點的函數(shù)值，作出適當?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點上取己知值，在區(qū)間的其他點上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)/(X)的近似值，這種方法稱為插值法。插值法的一般定義：設函數(shù))，=/(%)在區(qū)間［a,b］上有定義，且己知在點6Z上的值y0,乂，…，y?，若存在一簡單函數(shù)P(x)，使==O，l，...，w成立，就稱P(x)為/(x)的插值函數(shù)，點％4，...，稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間成為插值區(qū)間，求插值函數(shù)P
4、(x)的方法稱為插值法。若POO是次數(shù)不超過〃的代數(shù)多項式，即其屮&為實數(shù)，就稱P(X)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式。若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值，若PU)為三角多項式，就稱為三角插值。三、插值法的相關理論要解決實際問題就必須有試驗數(shù)據(jù)或者觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)希塑找到某種內在規(guī)律的數(shù)量關系，從而確定出實際問題中存在的函數(shù)關系。應用插值法就可以做到這些數(shù)學理論上期望。插值問題的提法：己知n+1個節(jié)點(UP，(./=0，1,…，Z1，其中'互不相同，不妨設a=x()，=
5、g(x)產(chǎn)生，g(x)表達式復雜或無解析形式或者未知。求解插值問題的基本思路：構造一個相對簡單的函數(shù)通過全部節(jié)點，即:/u;)=x,，(y=o，i，."，")再用/(X)計算插值，即/=/(/)o插值多項式具有：存在性、唯一性、收斂性。U!插值法的國外研宄進展插值理論是在17世紀微積分產(chǎn)生以后j逐步發(fā)展的，牛頓的等距節(jié)點插值公式及均差插值公式都是當時的重要成果。18世紀，拉格朗日給出了更一般的非等距節(jié)點上的插值公式。近半世紀由于計算機的廣泛使用和造船、航空、精密機械加工等實際問題的需要，使插值法在理論上和實踐上得到進一步發(fā)展，尤其是20世紀40年代后發(fā)展
6、起來的樣條插值，更獲得廣泛應用，成為計算機圖形學的基礎。在近代，插值法是觀測數(shù)據(jù)處理和函數(shù)制表所常用的工具，又是導出其他許多數(shù)值方法(例如數(shù)值積分、非線性方程求解、微分方程數(shù)值解等)的依據(jù)。五、插值法的內研宄現(xiàn)狀插值法是一種古老的數(shù)學方法，它來自生產(chǎn)實踐.早在一千多年前，我國科學家在研究歷法時就應用了線性插值與二次插值，但它的基木理論卻是在微積分產(chǎn)生以后才逐步完善的，其應用也日益廣泛.特別是由于計算機的使用和航空、造船、精密機械加工等實際問題的需耍，使插值法在理論上和實踐上得到進一步發(fā)展.尤其是近幾十年發(fā)展起來的樣條(Spline)插值,獲得了極為廣泛的
7、應用，并成為計算機圖形學的基礎.第二章算法研究一、多項式插4設在區(qū)間上給定n+r個點<6〈…?1**’")互譯，故detA=(xz-xy)0iJ=Oi>j因此，線性方程組的解?存在且唯一，于是有結論：滿足(卜1)的插值多項式P(X)是存在唯一的，以上可以看出直接求解方程組就可以
8、得到插值多項式八%)。雖然這個過程直觀易懂,但它都不是建立插值多項式最好的辦法，
