混沌與加密new

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1、摘要非線性科學(xué)是一門研究非線性現(xiàn)象共性的基礎(chǔ)科學(xué)，其研究涉及對確定性與隨機(jī)性，有序與無序，偶然與必然，量變與質(zhì)變，整體與局部等數(shù)學(xué)范疇和哲學(xué)概念的再認(rèn)識?；煦缡欠蔷€形動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種形式，他廣泛地存在于自然界，諸如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)以及技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域?；煦缂用苁抢没煦缦到y(tǒng)產(chǎn)生混沌序列作為密鑰序列，利用該序列對明文加密。密文經(jīng)信道傳輸，接收方用混沌同步的方法將明文信息提取出來實(shí)現(xiàn)解密。比起一般的加密技術(shù)，混沌加密更難破解，且混沌加密利用混沌系統(tǒng)對初始條件的極端敏感性和難以預(yù)測性，具有運(yùn)算速度快、保真度高

2、、密鑰量大、安全性好以及足夠的帶寬和較強(qiáng)的實(shí)時(shí)功能，是加密領(lǐng)域的一種新方法，有著廣闊的應(yīng)用前景。2.1混沌的定義現(xiàn)象已引起學(xué)術(shù)界的極大興趣，但迄今為止，混沌一詞還沒有一個(gè)公認(rèn)的普遍適用的數(shù)學(xué)定義。有的學(xué)者認(rèn)為，在不嚴(yán)格的意義上，如果一個(gè)系統(tǒng)同時(shí)具有對初值的敏感性以及出現(xiàn)非周期運(yùn)動，則可認(rèn)為系統(tǒng)是混沌。但更多的學(xué)者認(rèn)為，給出混沌的精確定義是相當(dāng)困難的事情。這是因?yàn)椋?1)不使用大量的技術(shù)術(shù)語就不可能定義混沌；(2)從事不同研究領(lǐng)域的人使用的混沌定義應(yīng)有所不同，如正拓?fù)潇?、正Lyapunov指數(shù)以及存在奇怪吸引子等。突變論的創(chuàng)始人Tho

3、m更是認(rèn)為“混沌”一詞不可能有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。盡管如此，從事不同領(lǐng)域研究的學(xué)者都是基于各自對混沌的理解進(jìn)行研究并謀求各自的應(yīng)用。目前，主要有以下三種混沌定義：Li-Yorke意義下的混沌，Devaney意義下的混沌，及Melnilov意義下的混沌。2.1.1Li-Yorke的混沌定義Li-Yorke定理：設(shè)是上的連續(xù)自映射，若存在3周期點(diǎn)，則對于任意正整數(shù)，存在周期點(diǎn)。Li-Yorke關(guān)于混沌的定義：閉區(qū)間上的連續(xù)自映射，如果滿足下列條件，則可以確定它存在混沌現(xiàn)象：1)的周期點(diǎn)的周期無上界；2)閉區(qū)間上存在不可數(shù)子集，滿足a)對于任

4、意，當(dāng)時(shí)有b)對任意，有a)對任意，其中是任一周期點(diǎn)，則有根據(jù)上述定理和定義，對閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，如果存在一個(gè)周期為3的周期點(diǎn)時(shí)，就一定存在任何正整數(shù)的周期點(diǎn)，即一定出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。該定義準(zhǔn)確刻畫了混沌運(yùn)動的幾個(gè)重要特征：1)存在可數(shù)無窮多個(gè)穩(wěn)定的周期軌道；2)存在不可數(shù)無窮多個(gè)穩(wěn)定的非周期軌道；3)至少存在一個(gè)不穩(wěn)定的非周期軌道。Li-Yorke定義還表明在區(qū)間映射中，對于集合S中的任意兩個(gè)初始值經(jīng)過多次迭代，兩個(gè)序列之間的距離上限可以為大于0的正數(shù)，下限為0，這就是說當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮時(shí)，序列簡單距離可以在每個(gè)正數(shù)和0之間游蕩，即

5、系統(tǒng)的長期行為是不可預(yù)測的。2.1.2Devaney的混沌定義在拓?fù)湟饬x下，Devaney混沌定義為：設(shè)是一度量空間，一個(gè)連續(xù)映射如果滿足下面3個(gè)條件，便稱在上是混沌的。1)對初值敏感依賴.存在,對任意的和任意的,在的領(lǐng)域內(nèi)存在和自然數(shù),使得.2)拓?fù)鋫鬟f性.對上的任意對開集、,存在(如一映射具有稠軌道，則它顯然是拓?fù)鋫鬟f的).3)f的周期點(diǎn)集在中稠密.對初值的敏感依賴性，意味著無論和離得多近，在的作用下兩者的距離都可能分開的較大的距離，并且在每個(gè)點(diǎn)的附近，都可以找到離它很近而在的作用下終于分道揚(yáng)鑣的點(diǎn),對這樣的，如果用計(jì)算機(jī)計(jì)算它

6、的軌道，任意微小的初值誤差，經(jīng)過多次迭代后將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的失敗。拓?fù)鋫鬟f意味著任一點(diǎn)的領(lǐng)域在的作用之下將“遍撒”整個(gè)度量空間，這說明不可能細(xì)分或不可能分解為兩個(gè)在下不相互影響的子系統(tǒng)。周期點(diǎn)集的稠密性，表明系統(tǒng)具有很強(qiáng)的確定性和規(guī)律性，決非混亂一片，形似混亂而實(shí)則有序，這正是混沌的耐人尋味之處。2.1.3Melnikov的混沌定義在二維系統(tǒng)中，最具開創(chuàng)性的研究是Smale馬蹄理論。馬蹄映射定義于平面區(qū)域上，,其中由一單位正方形和兩邊各一個(gè)半圓構(gòu)成。映射規(guī)則是不斷把縱向壓縮(壓縮比小于)，同時(shí)橫向拉伸(拉伸比大于2)，再彎曲成馬蹄形后

7、放回中。Henon映射就是馬蹄映射的一個(gè)實(shí)例。已經(jīng)證明，馬蹄映射的不變集是兩個(gè)Cantor集之交，映射在這個(gè)不變集上呈混沌態(tài)。因此，如果在系統(tǒng)吸引子中發(fā)現(xiàn)了馬蹄，就意味著系統(tǒng)具有混沌。Melnikov對混沌的描述概括起來可描述為：如果存在穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形并且這兩種流形橫截相交，則必存在混沌。Melnikov給出了穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交的方法，但這種方法只適合于近可積哈密頓系統(tǒng)。2.2混沌的基本特征混沌是指確定性的非線性系統(tǒng)中所出現(xiàn)的形式上較為混亂的非周期運(yùn)動。它的“定常狀態(tài)”不是通常概念下確定性運(yùn)動的三種定常狀態(tài)：靜止(平

8、衡)、周期運(yùn)動和準(zhǔn)周期運(yùn)動，而是一種始終限于有限區(qū)域而且軌道永不重復(fù)的、性態(tài)復(fù)雜的運(yùn)動。它有時(shí)被描述為具有無窮大周期的周期運(yùn)動或貌似隨機(jī)的運(yùn)動等。與其他復(fù)雜現(xiàn)象相區(qū)別，混沌運(yùn)動有著自己獨(dú)有的特征，主要有[9,10]：1)初值的高度敏感