二次型及其標準型

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1、Ch5二次型掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形的概念及慣性定理熟練掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，并會用配方法化二次型為標準形了解二次型的分類，熟練掌握二次型及其對應(yīng)矩陣的正定性與判別法問題的提出：在平面解析幾何中討論的有心二次曲線，若中心與坐標原點重合，則一般方程是上式的左端就是x，y的一個二次齊次多項式．為了便于研究這個二次曲線的幾何性質(zhì)，我們通過坐標變換，把方程化為只含平方項沒有乘積項的標準方程，在空間解析幾何中二次曲面的研究也有類似的問題．把二次

2、齊次多項式化為只含平方項的標準方程不僅在幾何問題中出現(xiàn)，而且在數(shù)學的其他分支以及物理、力學、工程技術(shù)、經(jīng)濟管理、網(wǎng)絡(luò)計算中有著廣泛的應(yīng)用．二次型的概念實例：二次方程的圖像表示怎樣的曲線?正交變換法化上面方程為熟知形式平面上任一點A的新舊坐標關(guān)系為若將坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)450，得新坐標系（1）將上面關(guān)系式代入方程（1），得到在新坐標系下的方程形式可見二次方程（1）所表示的曲線是橢圓,它的左邊是一個二次齊次多項式，通過變量的坐標變換化簡為只含有平方項的二次齊次多項式，我們叫它標準形.另一方面，（1）的

3、左邊用矩陣表示為（2）坐標變換關(guān)系用矩陣表示為或（3）其中是一正交矩陣.因此(3)為正交變換.將(3)代入（2）也有1.二次齊次多項式可以寫成矩陣形式，其矩陣的主對角元恰是平方項系數(shù)，關(guān)于主對角線的對稱元恰是交叉項的系數(shù)的一半；2.通過一正交變換就將二次齊次多項式化簡成只含有平方項的標準形.啟示二次型（quadraticform）的定義定義2：若線性變換當中有復(fù)數(shù)時，為復(fù)二次型．當全為實數(shù)時，為實二次型．的矩陣可逆，則稱線性變換為可逆線性變換；正交，則稱線性變換為正交變換。定義3：只含平方項的二

4、次型，即形如稱為二次型的標準形（或法式）。二次型的矩陣表示法：二次型的矩陣表示式任給一個二次型，就惟一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．二次型的矩陣（顯然這是實對稱陣）這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．設(shè)二次型定義：則稱對稱矩陣A的秩為二次型f的秩.對稱矩陣A叫做二次型f的矩陣，也把f叫做對稱矩陣A的二次型．例如，二次型用矩陣記號寫出來就是二次型的矩陣為例求實對稱矩陣所對應(yīng)的二次型．二次型經(jīng)可逆變換后的矩陣：由上討論可得：例已知下面二次型的秩為2，

5、求參數(shù)c．二次型的矩陣為r(A)=2<0c=3.定理1正交變換化二次型為標準形：問題1：標準形的矩陣=？將二次型化為標準形實際上是什么問題？問題3：二次型能否化為標準形？能！因為任意實對稱陣都與對角陣正交合同。問題2：定理2證明因為A是實對稱陣，故總有正交矩陣Q，使Q-1AQ=將x=Qy代入二次型，得f＝(Qy)TA(Qy)＝y(tǒng)TQTAQy=yT(QTAQ)y=yTy=其中是f的矩陣A的特征值.將二次型化為標準形的一般步驟：(i)寫出二次型的矩陣A；例求一個正交變換x=Qy，化二次型為標準形解二

6、次型的矩陣，特征多項式,A的特征值當時，解方程組，由得基礎(chǔ)解系單位化即得.當時，解方程組，由得基礎(chǔ)解系正交化單位化，正交變換，標準形.已知二次型經(jīng)過正交變換化成了標準形求的值和正交矩陣Q．例的矩陣A及標準形的矩陣分別為由題設(shè)條件，有由于A相似于對角矩陣，故A的特征值為將代入特征方程,得由于正交變換有保持幾何形狀不變等許多優(yōu)良性質(zhì)，所以用正交變換化二次型為標準形是一種常用的方法．為橢圓柱面。用配方法化二次型為標準形的方法用配方法化下列二次型為標準形，并求所用的可逆線性變換．解：因為中只有混合項，沒

7、有平方項，故要先作一個輔助變換使其出現(xiàn)平方項，然后按例1的方式進行配方．則原二次型化為則原二次型化為標準形,所用的可逆線性變換為注：配方法化二次型為標準形不同于正交變換化二次型為標準形，幾何上配方法化二次型為標準形不一定保持形狀不變，代數(shù)上配方法化二次型為標準形，其標準形的系數(shù)不一定是二次型矩陣的特征值.