求函數(shù)極限的方法

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1、求函數(shù)極限的方法1.預備知識1.1函數(shù)極限的定義定義1設為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)．若對任給的，存在正整數(shù)，使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以為極限．記作：或．定義2設函數(shù)在點的某個空心鄰域內有定義，為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)，使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以為極限．記作：或．定義3設函數(shù)在（或）內有定義，為定數(shù)．若對任給的，存在正數(shù)，使得當時（或）有，則稱數(shù)為函數(shù)當趨于（或）時的右（左）極限．記作：或．1.2函數(shù)極限的性質性質1（唯一性）若極限存在，則此極限是唯一的．性質2（局部有界性）若存在，則在的某空心鄰域內有界．性質3（局部保號性）若（或），則對任何正數(shù)（或），存在，使得對一切

2、有（或）．性質4（保不等式性）設與都存在，且在某鄰域內有，則．性質5（迫斂性）設，且在某鄰域內有10，則．性質6（四則運算法則）若極限與都存在，則函數(shù)，，當時極限也存在，且1.；2.；又若，則當時極限存在，且有　3.．２.求函數(shù)極限的若干方法2.1利用定義求極限例１證明．分析當時，，故，于是有，取，當時，故有，從而有，取即可．證明對于，取，于是當時，有，由定義知成立．注函數(shù)在點處是否有極限，與函數(shù)在點處是否有定義無關．102.2利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例2求．解．此題是利用函數(shù)的連續(xù)性求其極限，因為函數(shù)在處連續(xù)，所以可把直接代入求極限．若以后遇到此類函數(shù)可用此方法求其極限．2.3利

3、用兩個重要極限求極限首先給出兩個重要極限的一般形式（1）；（2）．　　例3　求極限．　　解，于是有　　　　　?。壤煤筒罨e對函數(shù)進行轉化，要使用，必須使函數(shù)中出現(xiàn)此類型的式子，如當時，此時，再進行求解．例4　求極限（為給定實數(shù)）．解?。?0在利用第二類重要極限求極限的過程中，通常要將第二類重要極限先進行變形再使用．如，此題就是利用這種變形求解的．在以后的求函數(shù)極限的問題中可靈活運用．2.4利用四則運算法則求極限對和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會想到極限四則運算法則，法則本身很簡單．但為了能夠使用這些法則，往往需要先對函數(shù)做某些恒等變換或化簡，采用怎樣的變形和化簡，要根據(jù)

4、具體的算式確定．常用的變形或化簡有分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和或求積公式以及適當?shù)淖兞刻鎿Q．例5求極限，為正整數(shù)．解．本題先利用拆項求和對函數(shù)進行恒等變換，再利用函數(shù)四則運算法則中的加法形式進行求解．2.5利用迫斂性求極限例6求極限．解由放縮法得，10化簡得，因為，由迫斂性定理得．在利用迫斂性求函數(shù)極限時，一般可經過放縮法找出適當?shù)膬蓚€函數(shù)，且這兩個函數(shù)的極限相等．本題就是用放縮法使得，且，滿足函數(shù)極限的迫斂性，即可求出極限．2.4利用歸結原則求極限歸結原則設在內有定義，存在的充要條件是：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相

5、等．例7求極限．分析利用復合函數(shù)求極限，令，求解．解令，則有；，由冪指函數(shù)求極限公式得，故由歸結原則得10．注1歸結原則的意義在于把函數(shù)歸結為數(shù)列極限問題來處理，對于，，和這四種類型的單側極限，相應的歸結原則可表示為更強的形式．注2若可找到一個以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則不存在．2.7利用等價無窮小量代換求極限例8求極限．解由于，而，，故有．注在利用等價無窮小量代換求極限時，應注意只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替代，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有，，而推出，則得到的式錯誤的結果

6、．附常見等價無窮小量，，，10，，，，．2.8利用洛比達法則求極限洛比達法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在點的空心領域內兩者都可導，且作分母的函數(shù)的導數(shù)不為零．例9求極限．解由于，且有，，由洛比達法則可得．例10求極限．解由于，并有，，由洛比達法則可得，由于函數(shù)，均滿足路比達法則的條件，所以再次利用洛比達法則．10注1如果仍是型不定式極限或型不定式極限，只要有可能，我們可再次用洛比達法則，即考察極限是否存在，這時和在的某領域內必須滿足洛比達法則的條件．注2若不存在，并不能說明不存在．注3不能對任何比式極限都按洛比達法則求解，首先必須注意它是不是不定

7、式極限，其次是否滿足洛比達法則的其他條件．下面這個簡單的極限雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛比達法則，就會因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯誤結論．2.9利用泰勒公式求極限在此種求極限的方法中，用得較多的是泰勒公式在時的特殊形式，即麥克勞林公式．也可稱為帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式．例11求極限．解由于極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，?。骸　　　　　　　　　　?，　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　．因而求得10．利用此種方法求極限時，必須先求函數(shù)