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《平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第3章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析 付里葉變換是處理確定性信號(hào)的有效工具,它信號(hào)的頻域內(nèi)分析處理信號(hào),常常使分析工作大為簡化。對(duì)于隨機(jī)信號(hào),是否也可以應(yīng)用頻域分析方法?付里葉變換是否可引入隨機(jī)信號(hào)中?3.1隨機(jī)過程的譜分析3.1.1回顧:確定性信號(hào)的譜分析是非周期實(shí)函數(shù),的付里葉變換存在的充要條件是:1.在上滿足狄利赫利條件;2.絕對(duì)可積:3.若代表信號(hào),則信號(hào)的總能量有限,即:的付里葉變換為:付里葉逆變換為重要等式:此等式稱為帕塞瓦(Parseval)等式,其物理意義是:等式左邊信號(hào)在時(shí)域上的總能量,等式右邊的可認(rèn)為是單位頻帶內(nèi)的能量,總能量通過積分得到,稱等于為能譜密度。433.1
2、.1隨機(jī)過程的功率譜密度一、樣本函數(shù)的平均功率問題1:由于付里葉變換是針對(duì)確定性函數(shù)進(jìn)行的,在處理隨機(jī)過程時(shí),取的一個(gè)樣本函數(shù)(在曲線族中取某一曲線)來進(jìn)行付里葉分析。問題2:隨機(jī)過程的樣本函數(shù)一般不滿足付里葉變換的條件,它的總能量是無限的,需考慮平均功率?! ∪綦S機(jī)過程的樣本函數(shù)滿足稱為樣本函數(shù)的平均功率。對(duì)于平穩(wěn)過程,其樣本函數(shù)的平均功率是有限的。二、截取函數(shù)對(duì)于的一個(gè)樣本函數(shù),在中截取長為的一段,記為,它滿足:稱為的截取函數(shù)。三、截取函數(shù)的付里葉變換 ,取定后,的付里葉變換一定存在:其付里葉逆變換為:其帕塞瓦(Parseval)等式為43四、隨機(jī)過程的平均功率說明:與具有隨機(jī)
3、性,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)樣本,具有隨機(jī)性,因此,與都是隨機(jī)變量。由稱為隨機(jī)過程的平均功率。記,稱為隨機(jī)過程的功率譜密度。描述了隨機(jī)過程的功率在各個(gè)頻率分量上的分布。3.1.3功率譜密度與復(fù)頻率面拉譜拉斯變換回顧:在付里葉變換中,令,便有變換為這便是有名的拉譜拉斯變換。令,用來代替,得,是復(fù)頻率?! ?yīng)用復(fù)頻率來表示平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度,在某些實(shí)際應(yīng)用中是很方便的?! ∪。闶怯衫V拉斯變換引伸出的頻譜分析。433.1功率譜密度的性質(zhì)1.功率譜密度為非負(fù)函數(shù),即:2.功率譜密度為的實(shí)函數(shù)。3.功率譜密度為的偶函數(shù):證明:4.功率譜函數(shù)可積5.有理譜密度是實(shí)際應(yīng)用中最覺常見的一類功率譜
4、密度,自然界和工程實(shí)際應(yīng)用中的有色噪聲常??捎糜欣砗瘮?shù)形式的功率譜密度來逼近。這時(shí),可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比,即必須滿足。3.2功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系定理:平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間構(gòu)成付里葉變換對(duì),即:設(shè)是功率譜密度,是自相關(guān)函數(shù),則有證明:43令,,則,與的相互關(guān)系反映了時(shí)域特性與頻域特性之間的聯(lián)系,是分析隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)最重要、最基本的公式:可以相互利用,使求解計(jì)算大大簡化。3.1聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度1.兩個(gè)隨機(jī)過程、的截取函數(shù)設(shè)、分別為與的樣本函數(shù),令:43、分別稱為與的截取函數(shù)。1.截取函數(shù)的付里葉變換、的付里葉變換分別為付里葉逆變換分別為2.
5、樣本函數(shù)互功率 樣本函數(shù)與的互功率定義為:3.帕塞瓦定理根據(jù)帕塞瓦定理,有又,所以,4.兩個(gè)隨機(jī)過程的互功率由于與具有隨機(jī)性,、也具有隨機(jī)性,從而、具有隨機(jī)性。為消除隨機(jī)性,?。?3稱其為隨機(jī)過程的互功率。1.互功率譜密度由帕塞瓦定理,有令:稱為互功率譜。2.平穩(wěn)隨機(jī)過程互相關(guān)與互功率譜的關(guān)系定理:互相關(guān)與互功率譜為一付里葉變換對(duì),即:和3.互功率譜密度的性質(zhì)(1)(2)若與正交,則(3)若與不相關(guān),則433.1 噪聲與功率譜密度1.理想白噪聲若是一個(gè)具有0均值的平穩(wěn)過程,其功率譜密度均勻分布在的:整個(gè)頻率區(qū)間,即為一正實(shí)數(shù),則稱為白噪聲過程,簡稱白噪聲。2.白噪聲的時(shí)域分析由
6、 及 ,有R 自相關(guān)系數(shù)為以上說明,白噪聲在任兩個(gè)相鄰時(shí)刻(兩個(gè)時(shí)刻不管多么鄰近)的取值都是不相關(guān)的。這說明白噪聲過程隨時(shí)間的起伏極快。3.白噪聲在工程中的應(yīng)用實(shí)際上,白噪聲是不存在的。在工程中,當(dāng)所研究的隨機(jī)過程通過某一系統(tǒng)時(shí),若過程的功率譜密度在一個(gè)比系統(tǒng)帶寬大得多的頻率范圍內(nèi)近似均勻分布,就可以把它當(dāng)作白噪聲來處理?!〕S脩?yīng)用有:電子設(shè)備中的白噪聲;電阻熱噪聲;晶體管的散粒噪聲等。4.限帶白噪聲若過程的功率譜密度滿足:稱此過程為低通型限帶白噪聲。43若稱此過程為帶通型限帶白噪聲。1.色噪聲除白噪聲以外,所有噪聲都稱為有色噪聲,簡稱色噪聲。3.1功率譜密度計(jì)算舉例例1、隨機(jī)電報(bào)
7、過程是廣義平穩(wěn)過程,其自相關(guān)函數(shù)為 其中,求過程的功率譜密度。解:利用可得例2:為隨機(jī)相位過程、為實(shí)數(shù)。為隨機(jī)相位,在內(nèi)均勻分布變。求的功率密度。解:的自相關(guān)為有:43例3:已知平穩(wěn)過程具有如下功率譜密度:求自相關(guān)函數(shù)及平均功率。解:平均功率作業(yè):P109 4.1,4.3,4.5,4.7,4.8,4.9,4.11,4.12。43