羅爾定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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1、內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）至少存在一點(diǎn)使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；（2）在內(nèi)每點(diǎn)處至少存在一點(diǎn)使得3.2洛必達(dá)法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或；取對數(shù)化為基本形式1）型：取對數(shù)得，其中或；2）型：取對數(shù)得，其中或；3）型：取對數(shù)得，其中或。課后習(xí)題全解習(xí)題3-1★1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件

2、？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。（1）；（2）。知識點(diǎn)：羅爾中值定理。思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：（1）∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，∴在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。（2）∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，∴在上滿足羅爾定理的條件。令，得即為所求?！?.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。知識點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，若得到的根則可驗(yàn)證定理的正確性。解：∵在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，∴在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，，∴要使，只要：，∴，使，驗(yàn)證完畢?！?.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值

3、定理的條件，試求滿足定理的。解：要使，只要，從而即為滿足定理的?！铩?.試證明對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而有，即，解得，結(jié)論成立?！?.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。知識點(diǎn)：柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：∵及在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)的每一點(diǎn)處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，解得，即為滿足定理的數(shù)值?！铩铩?.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。求證：存在，使。知識點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。

4、思路：從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為，然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時(shí)常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即。注：輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過結(jié)論倒推，如：要使，只要∴只要設(shè)輔助函數(shù)★★7.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且，證明：在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。知識點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明：∵在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，∴在、內(nèi)連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，又，∴由羅爾定理，至少有一點(diǎn)、，使得、；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)，使得。

5、★★8.若4次方程有4個(gè)不同的實(shí)根，證明：的所有根皆為實(shí)根。知識點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論方程根的情況可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意，有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)零點(diǎn)，分別設(shè)為，∵在、、上連續(xù)，在、、上可導(dǎo)，又，∴由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)、、使得，即方程至少有3個(gè)實(shí)根，又三次方程最多有3個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立?！铩铩?.證明：方程只有一個(gè)正根。知識點(diǎn)：零點(diǎn)定理和羅爾定理的應(yīng)用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點(diǎn)定理和羅爾定理得出結(jié)論。零點(diǎn)定理往往用來討論函數(shù)的零點(diǎn)情況；羅爾定理往往用來討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況。解：令，∵在上連續(xù)，且，，∴由零點(diǎn)定理，至少有

6、一點(diǎn)，使得；假設(shè)有兩個(gè)正根，分別設(shè)為、（），則在在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，從而由羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使得，這不可能?！喾匠讨挥幸粋€(gè)正根?！铩?0.不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。知識點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可考慮利用羅爾中值定理。解：∵在、、上連續(xù)，在、、內(nèi)可導(dǎo)，且，∴由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)、、，使得，即方程至少有三個(gè)實(shí)根，又方程為三次方程，至多有三個(gè)實(shí)根，∴有3個(gè)實(shí)根，分別為、、。★★★11.證明下列不等式：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明；（4）當(dāng)時(shí)，。知識點(diǎn)：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理

7、證明不等式的過程：尋找函數(shù)，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，∴由拉格朗日中值定理，得。（2）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，從而當(dāng)時(shí)，。（3）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，即，。（4）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，即當(dāng)時(shí)，?！铩?2.證明等式：.知識點(diǎn)：（為常數(shù)）。思路：證明一個(gè)函數(shù)表達(dá)式恒等于一個(gè)常數(shù)，只要證證明：令，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，∴；∴成立?！铩铩?3.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則。知識點(diǎn)：