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《導(dǎo)數(shù)典型例題講解》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、資料一：導(dǎo)數(shù).知識點(diǎn)1．導(dǎo)數(shù)的概念例1．已知曲線y=上的一點(diǎn)P(0,0)，求過點(diǎn)P的切線方程·解析：如圖，按切線的定義，當(dāng)x0時(shí)，割線PQ的極限位置是y軸（此時(shí)斜率不存在），因此過P點(diǎn)的切線方程是x=0.例2．求曲線y＝x2在點(diǎn)(2，4)處的切線方程·解析：∵y=x2,∴y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2=4x＋(x)2∴k＝.∴曲線y＝x2在點(diǎn)(2，4)處切線方程為y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.例3．物體的運(yùn)動方程是S＝1＋t＋t2，其中S的單位是米，t的單位是秒，求物體在t＝5秒時(shí)的瞬時(shí)速度及物體在一段時(shí)間[5，
2、5＋t]內(nèi)相應(yīng)的平均速度．解析：∵S=1+t+t2,∴S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,∴,即,∴,即在[5，5＋t]的一段時(shí)間內(nèi)平均速度為(t＋11)米／秒∴v(t)=S’＝即v(5)＝2×5＋1＝11.∴物體在t＝5秒時(shí)的瞬時(shí)速度是11米／秒．例4．利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=在x=1處的導(dǎo)數(shù)。解析：y=,∴=,∴=.例5．已知函數(shù)f(x)=,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝0處的導(dǎo)數(shù)解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0處有定義，y=f(0+x)－f(0)=,=,==0,即f’(0)＝0.∴函數(shù)f(
3、x)在x＝0處導(dǎo)數(shù)為0.例6．已知函數(shù)f(x)=,判斷f(x)在x＝1處是否可導(dǎo)？解析：f(1)=1,,,∵,∴函數(shù)y=f(x)在x＝1處不可導(dǎo)．例7．已知函數(shù)y＝2x3＋3，求y’.解析：∵y=2x3+3,∴y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,∴=6x2+6x·x+2(x)2,∴y’==6x2.例8．已知曲線y＝2x3＋3上一點(diǎn)P，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x＝1，求點(diǎn)P處的切線方程和法線方程．解析：∵x=1,∴y=5,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,5),利用例7的結(jié)論知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y’=6x2,∴y’＝6,∴曲線在P
4、點(diǎn)處的切線方程為y－5＝6(x－1)即6x－y－1＝0,又曲線在P點(diǎn)處法線的斜率為－，∴曲線在P點(diǎn)處法線方程為y－5＝－(x－1)，即6y＋x－31＝0.例9．拋物線y＝x2在哪一點(diǎn)處切線平行于直線y＝4x－5？解析：∵y’==,令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在點(diǎn)P(2，4)處切線平行于直線y＝4x－5.例10．設(shè)mt≠0，f(x)在x0處可導(dǎo)，求下列極限值(1)；(2).解析：要將所求極限值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)f’(x0)定義中的極限形式。(1)=,（其中－m·x0）(2)=.（其中）例11．設(shè)函數(shù)f(x)在x＝1處連續(xù)，且，求f’(1).解析
5、：∵f(x)在x＝1處連續(xù)，∴f(1).而又×2=0.∴f(1)=0.∴f’(1)=（將x換成x－1）即f’(1)＝2.例12．已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)，通過點(diǎn)(1，1)，且在點(diǎn)(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求a，b，c的值．解析：由y’＝=,由函數(shù)在點(diǎn)(2，－1)處與直線y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，又函數(shù)過點(diǎn)(1，1)，(2，－1),∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.例13．設(shè)曲線y＝sinx在點(diǎn)A(，)處切線傾斜角為θ，求tan(－θ)的值.解析：∵y=sinx
6、，∴y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+)sin,∴y’==.即y’＝(sinx)’＝cosx,令在A點(diǎn)處切線斜率為k=cos=,∴tanθ=,θ∈(0,π),∴tan(－θ)＝H，例14．設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f’(0)＝1，證明：對任何x∈R，都有f(x)=f’(x)解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0),又f(0)≠0∴f(0)=1由f’(0)=1即,∴f’(x)＝.即f’(x)
7、=f(x)成立．2．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1．已知f(x)=x3，求f’(x)，f’(1)，(f(1))’，f’(0.5)解析：f(x)=x3,∴f’(x)＝3x2,f’(1)=3,f’(0.5)＝3×(0.5)2=0.75，(f(1))’=(1)’=0.說明：導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)要弄清區(qū)別與聯(lián)系．后者是導(dǎo)函數(shù)的某一函數(shù)值，因此在求函數(shù)某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)時(shí)可先求導(dǎo)函數(shù)，再直接求導(dǎo)函數(shù)值．例2．已知曲線y=x2上有兩點(diǎn)A(1,1),B(2,4)，求①割線AB的斜率；②在[1，1＋x]內(nèi)的平均變化率；③過點(diǎn)A處的切線斜率kAT；④點(diǎn)A處的切線方程
8、．解析：①kAB＝＝3；②平均變化率,③y’＝2x,∴y’
9、x＝1＝2.即點(diǎn)A處的切線斜率為KAT＝2.④點(diǎn)A處的切線方程為y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.說明：通過本例搞清割線斜率，
