第01章 預(yù)備知識

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1、個人簡介概率論是數(shù)學(xué)的一個有特色的分支．一方面，它有別開生面的研究課題有自己獨特的概念和方法，內(nèi)容豐富，結(jié)果深刻；另一方面，它與其它數(shù)學(xué)分支又有緊密的聯(lián)系，它是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分．概率論的理論和方法向各個基礎(chǔ)學(xué)科、工程學(xué)科的滲透是近代科學(xué)校術(shù)發(fā)展的特征之一．概率論與其它學(xué)科相結(jié)合發(fā)展成不少邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理和數(shù)學(xué)地質(zhì)等；它又是許多新的重要學(xué)科的基礎(chǔ)，如信息論控制論、可靠性理論和人工智能等．通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握處理隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的基本原理和方法，培養(yǎng)學(xué)生解決某些有關(guān)實際問題的能力．為后繼課程的學(xué)

2、習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)20引言一、什么是概率論[學(xué)習(xí)目的]1、確定性現(xiàn)象——在試驗之前就能斷定試驗有一個確定結(jié)果的現(xiàn)象。當(dāng)我們多次觀察自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，會發(fā)現(xiàn)許多事情在一定的條件下必然會發(fā)生．例如在沒有外力作用的條件下，作等速直線運動的物體必然繼續(xù)作等速直線運動;在不受外力作用的條件下，作等速直線運動的物體改變其等速直線運動狀態(tài)是不可能的．又如在海邊生活時，水加熱到100℃時必然會沸騰等等．2、隨機現(xiàn)象——在試驗之前無法確定試驗結(jié)果的現(xiàn)象。例如用同一儀器多次測量同一物體的重量，所得結(jié)果彼此總是略有差異，這是由于諸如測量儀器

3、受大氣影響，觀察者生理上或心理上的變化等等偶然因素引起的．20同樣地，同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射多發(fā)同種炮彈，彈落點也不一樣，因為炮彈制造時種種偶然因素對炮彈質(zhì)量有影響．此外，炮筒位置的誤差，天氣條件的微小變化等等都影響彈落點．再如從某生產(chǎn)線上用同一種工藝生產(chǎn)出來的燈泡的壽命也有差異等等．總之，所舉這些現(xiàn)象的—個共同的特點是：在基本條件不變的情況下一系列試驗或觀察會得到不同的結(jié)果．換句話說，就個別的試驗或觀察而言．它會時而出現(xiàn)這種結(jié)果，時而出現(xiàn)那種結(jié)果，呈現(xiàn)出一種偶然性這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象．3、概率論——研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量

4、規(guī)律的一個數(shù)學(xué)分支。4、學(xué)習(xí)目的——能運用本課程基本原理和方法處理隨機現(xiàn)象問題，二、怎樣學(xué)概率論[學(xué)習(xí)要求]1、學(xué)習(xí)內(nèi)容——第一章至第九章(具體見書)20要注意學(xué)習(xí)代數(shù)及波雷爾集、特征函數(shù)、維正態(tài)分布、方差分析以及多元線性回歸，同時要認(rèn)真掌握許多定理的數(shù)學(xué)證明。2、教學(xué)安排——每兩周10學(xué)時講課，其中2學(xué)時習(xí)題課。3、學(xué)習(xí)要求——專心聽講、做好筆記、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、完成作業(yè)、遵守紀(jì)律。4、參考資料——復(fù)旦大學(xué)《概率論(第一冊概率論基礎(chǔ))》；戴宗舒《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》；華工.毛剛源《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》解題方法技巧歸納華東師

5、大《數(shù)學(xué)分析》；北大《高等代數(shù)》,王柔懷《常微分方程講義》；江澤堅等《實變函數(shù)論》；余家榮《復(fù)變函數(shù)論》.20第一章預(yù)備知識第一節(jié)集合一、概念1、集合——具有某種特定性質(zhì)的事物組成的集體；例如：①自然數(shù)集:；②整數(shù)集；③有理數(shù)集:；④實數(shù)集:；⑤復(fù)數(shù)集:；⑥維歐氏空間:.⑦；,.2、元素——組成集合的各個事物；、.203、空集——不含有任何元素的集合。4、全集——所研究的所有事物組成的集合。二、集合分類1、有限集——僅含有限多個元素的集合或空集；2、無限集——含有無限多個元素的集合；可數(shù)集——能與自然數(shù)集建立1-1對應(yīng)

6、關(guān)系的集合,用表示所有可數(shù)集組成的集合；不可數(shù)集——無限集中不能與自然數(shù)集建立1-1對應(yīng)關(guān)系的集合。注：有限集與可數(shù)集統(tǒng)稱為至多可數(shù)集.例如：、、等.下面證明是不可數(shù)集.證明:假設(shè)是可數(shù)集，那么，而，，20……，…….令，其中為中非的自然數(shù)，顯然,于是.矛盾，說明是不可數(shù)集.三、集合關(guān)系與運算1、子集——；2、相等——；3、交集——,簡記為；.4、并集——；若,簡記為；.205、差集——；6、余集——，其中為全集。顯然：.7、極限——(1)、若，稱單調(diào)不減,記作，并定義；(2)、若，稱單調(diào)不增,記作，并定義.8、迪卡爾

7、積——.四、性質(zhì)1、定理：(1)；(2).推廣：(1)；(2).20證明：先證(1).，有.(1)得證.再證(2)..(2)得證.2、.證明：先證.，有,.再證..3、.[顯然]4、.證明：僅證即可...20五、代數(shù)及波雷爾集1、代數(shù)——設(shè)為集的某些子集構(gòu)成的集類，滿足：、；、若，則；、若，,則，則稱為代數(shù)。2、代數(shù)性質(zhì):[任何交、并、差均封閉且含空集]⑴、.證明：⑵、若，,則，，.證明：,,.20⑶、若，則.證明：.⑷、設(shè)為集的某些子集構(gòu)成的非空集類,那么必存代數(shù).滿足：①;②代數(shù)，若，則.稱為包含的最小代數(shù)，亦稱為

8、由生成的代數(shù).證明：顯然是包含的代數(shù)，令：，顯然滿足①②，下面證明是代數(shù).，；2),,,;3)，,所以是代數(shù).證畢.作業(yè)：設(shè),,求.3、波雷爾集⑴、一維波雷爾集類20,.例如：①，②，③.[留作練習(xí)]說明：常見的數(shù)的集合均為波雷爾集.⑵、維波雷爾集類，.其中：.六、可測集1、中的區(qū)間：,并定義.2、外測度:設(shè)集合,定義的外測度為：