高數(shù)求極限的方法小結(jié)

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1、寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文高等數(shù)學(xué)中求極限的方法小結(jié)2.求極限的常用方法2.1利用等價(jià)無(wú)窮小求極限#這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小.(2)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.(3)非零無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù).(4)等價(jià)無(wú)窮小代換(當(dāng)求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮小代替).[3]設(shè)、且；則：與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為：．常用等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)變量時(shí)，．例1求．解，故，原式例2求．解,因此:原式．13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文例3求．解，故:原式=．例4求．解,故:原式．例5試確定常數(shù)與，使

2、得當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮?。舛筮?，故即．2.2利用洛必達(dá)法則求極限#利用這一法則的前提是：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在；為0比0型或者型等未定式類型.洛必達(dá)法則分為3種情況：（1）0比0，無(wú)窮比無(wú)窮的時(shí)候直接用.（2）0乘以無(wú)窮，無(wú)窮減去無(wú)窮（無(wú)窮大與無(wú)窮小成倒數(shù)關(guān)系時(shí)）通常無(wú)窮大都寫成無(wú)窮小的倒數(shù)形式,通項(xiàng)之后，就能變成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的無(wú)窮次方，無(wú)窮的0次方，對(duì)于（指數(shù),冪函數(shù)）形式的方法主要是取指數(shù)的方法，這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫成0與無(wú)窮的形式了.洛必達(dá)法則中還有一個(gè)定理：當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于0；在點(diǎn)的某去心鄰域

3、內(nèi)，﹑的導(dǎo)數(shù)都存在且的導(dǎo)數(shù)不等于0；存在，那么.[1]13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文求極限有很多種方法如洛必達(dá)法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強(qiáng)行代入，先定型后定法.[3]例6求.分析秘訣強(qiáng)行代入，先定型后定法.（此為強(qiáng)行代入以定型）.可能是比高階的無(wú)窮小，倘若不這樣，或或.解，由洛必達(dá)法則的.例7求.解.例8求.解原式.（二次使用洛必達(dá)法則）.例9求.解原式.13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文例10求.解原式原式=.例11求.解原式.例12求.解原式.例13求.解原式“”型：例14求.解原式.“”型：例15求.解，13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程

4、論文故原式.“”型：例16求.解原式.“”型：例17求.解原式.“”型：例18求.解原式，而，因此：原式=1.2.3泰勒公式（含有的次方的時(shí)候，尤其是含有正、余弦的加減的時(shí)候要特別注意）泰勒中值定理定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一，有+(-)+(-)+……+(-)+()其中，這里是與之間的某個(gè)值.[1]例19利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限.13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文解由于公式的分母，我們只需將分子中的代入計(jì)算，于是，對(duì)上式做運(yùn)算時(shí)，把兩個(gè)高階的無(wú)窮小的代數(shù)和還是記作.例20，，.2.4無(wú)窮小與有界函數(shù)

5、的處理方法面對(duì)復(fù)雜函數(shù)，尤其是正、余弦的復(fù)雜函數(shù)與其它函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法.[3]例21求.解原式.2.5夾逼定理主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的通項(xiàng)是方式和的形式，對(duì)之放縮或擴(kuò)大.[1]例22求.13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文解，，，根據(jù)夾逼定理.2.6等比等差數(shù)列公式（的絕對(duì)值要小于）[1]例23設(shè)，證等比數(shù)列1，，，…的極限為0.證任取，為使，而，使，即，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，即，即，由定義知.因此,很顯然有:.2.7各項(xiàng)以拆分相加[3]13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文將待求的和式子的各項(xiàng)拆分相加來(lái)消除中間的大多

6、數(shù)，主要應(yīng)用于數(shù)列極限,可以使用待定系數(shù)來(lái)拆分簡(jiǎn)化函數(shù).例24求.解原式=.2.8求左右極限的方式例25求函數(shù)，求時(shí)，的極限.解，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，的極限不存在.例26.解，，因?yàn)椋?原式=0.2.9應(yīng)用兩個(gè)重要極限，13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文例27求.解記，則原式=.例28求.解原式==.例29求.解原式==.2.10根據(jù)增長(zhǎng)速度例30求.解原式==.例31求.解.同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的，的次方快于（的階乘）快于指數(shù)函數(shù)，快于冪函數(shù)，快于對(duì)數(shù)函數(shù).所以增長(zhǎng)速度：.13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文故以后上述結(jié)論可直接在極限

7、計(jì)算中運(yùn)用.2.11換元法例32.解令，則原式==2.12利用極限的運(yùn)算法則[1]利用如下的極限運(yùn)算法則來(lái)求極限：(1)如果那么若又有，則（2）如果存在，而為常數(shù)，則（3）如果存在，而為正整數(shù)，則（4）如果，而，則（5）設(shè)有數(shù)列和，如果那么，當(dāng)且時(shí)，2.13求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分[1]例33已知,在區(qū)間上求（其中將分為13寧波大紅鷹學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)課程論文個(gè)小區(qū)間,，為中的最大值）.解由已知得:.（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分,求函數(shù)在區(qū)間上的面積）.在有的極限的計(jì)算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：（

8、1）定積分中值定理：如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則在上至少有一個(gè)點(diǎn)，使下列公式成立：；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限