培養(yǎng)以形助數(shù)思想意識(shí)開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)解題視野

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1、培養(yǎng)“以形助數(shù)”思想意識(shí)開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)解題視野福建省詔安第一中學(xué)許偉湘363500摘要：本文通過(guò)對(duì)典型實(shí)例的分析，全面系統(tǒng)地討論了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞：幾何意義代數(shù)計(jì)算數(shù)形結(jié)合一、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離求最值問(wèn)題平面上兩點(diǎn)P（x，y）、A（a，b）間的距離公式為。因此關(guān)于x，y的二次式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間距離的最值問(wèn)題。例1.求函數(shù)的最小值。解：其幾何意義是點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（2，3）的距離之和的最小值。因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A‘（1，2），且

2、故（即）圖1例2.求函數(shù)的最大值。分析：由于的解析式中含有兩個(gè)根號(hào)，根號(hào)內(nèi)部都是x的二次式，以中學(xué)的代數(shù)方法很難出它的最大值，但如果巧妙用兩點(diǎn)的距離公式的方法，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。解：設(shè)，那么求函數(shù)表達(dá)式在軸上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離減去P到B的距離。這時(shí)，點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)，組成，如圖，圖2根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，那么當(dāng)P位于AB和x軸的交點(diǎn)C的位置時(shí)，最大，故最大值二、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)成直線斜率問(wèn)題解題過(guò)A（），B（）（），兩點(diǎn)的直線斜率是，因此涉及此類(lèi)的比值的問(wèn)題，可以考慮轉(zhuǎn)化為直線斜率來(lái)解

3、題。例3.求函數(shù)的最大值和最小值。分析：?jiǎn)渭儚拇鷶?shù)角度考慮，當(dāng)使的解析式的分子取最大（小）值時(shí)，分母并不是最?。ù螅┲?，所以利用和的有界性，難以求得的最大（?。┲?，若，B（2，2），就是AB的斜率，而在單位圓上，這樣就很容易求解。解：令為單位圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)P連線的斜率。設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，2），斜率為k的直線l：與圓相切，切點(diǎn)為和。則函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為斜率的最值。因?yàn)閳A心O到直線的距離為1，即，化簡(jiǎn)得，解得，故，圖3例4.已知x，y，且滿(mǎn)足，求的最大值和最小值。解：是過(guò)原點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)（x，y）的直線斜率，顯然當(dāng)直

4、線與圓相切時(shí)，取得最值。設(shè)直線方程為。由點(diǎn)到直線距離公式得，即，解之得：圖4斜率型問(wèn)題的一般形式：已知點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，求的最值，除此之外，一些比值問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為斜率型問(wèn)題求解。三、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決數(shù)列問(wèn)題利用數(shù)列的一些相關(guān)性質(zhì)，往往可以把數(shù)列問(wèn)題構(gòu)造為一次函數(shù)來(lái)解題。例5.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求公比。分析：若是公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則點(diǎn)（）（n=1，2，）在同一直線上。解:根據(jù)題意知，由于分析知點(diǎn)（）、（）、（）共線。即由已知，，代人()式得：，四、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決方程

5、的根（函數(shù)的零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問(wèn)題例6.已知函數(shù).(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍;(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.分析：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法:(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn);(2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn);(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),有幾個(gè)交點(diǎn)就

6、有幾個(gè)不同的零點(diǎn).解:(1)法一:∵,等號(hào)成立的條件是,故的值域是[2e,+∞),因而只需,則g(x)=m就有零點(diǎn).即m的取值范圍為[2e,+∞).圖5圖6法二:作出的大致圖象如圖:可知若使有零點(diǎn),則只需.即m的取值范圍為[2e,+∞).(2)若有兩個(gè)相異的實(shí)根,即與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),∵?！嗥鋱D象的對(duì)稱(chēng)軸為,開(kāi)口向下,最大值為.故當(dāng),即時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn),即有兩個(gè)相異實(shí)根.∴m的取值范圍是。五、利用數(shù)形結(jié)合的方法，研究方程、曲線、函數(shù)、不等式中參數(shù)問(wèn)題諸多的關(guān)于方程或不等式的問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為方程與不

7、等式的函數(shù)圖像關(guān)系來(lái)解決。例7.設(shè)二次方程的兩根滿(mǎn)足：，求a的取值范圍。分析：構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)二次方程的兩根取值范圍，來(lái)確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化區(qū)域及縱坐標(biāo)的情況。解：設(shè)做出此函數(shù)的大致圖像（如圖）。，所以,即圖1解此不等式組得：。例8.求函數(shù)的最值。解：分別做出函數(shù)（如圖1）和（如圖2）的圖像，圖2二者疊加得圖3，圖3即是的圖像，由圖3，知.圖3需要特別注意的是，應(yīng)用圖像分析法，除了要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)深刻理解外，還應(yīng)該對(duì)圖像及其變化趨勢(shì)有準(zhǔn)確的把握。否則出現(xiàn)錯(cuò)誤就在所難免。六.利用數(shù)形結(jié)合的

8、方法，構(gòu)造立體圖形解題有些代數(shù)問(wèn)題，其幾何意義不是一眼就看出來(lái)的，則需要靈活運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏颓擅顦?gòu)想，使這個(gè)代數(shù)表達(dá)式具有幾何意義。例8已知正實(shí)數(shù)a、b、c、d滿(mǎn)足，試證：分析：由已知容易聯(lián)系到長(zhǎng)方體的對(duì)角線定理，不妨構(gòu)造一個(gè)三邊分別為a、b、c的長(zhǎng)方體，則對(duì)角線長(zhǎng)為d。根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的結(jié)論，命題就可得證。在數(shù)形結(jié)合教學(xué)中，通過(guò)各種例子，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，不斷地提高巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)。同時(shí)也告訴學(xué)生，所有的“形