培養(yǎng)以形助數(shù)思想意識開拓數(shù)學解題視野

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1、培養(yǎng)“以形助數(shù)”思想意識開拓數(shù)學解題視野福建省詔安第一中學許偉湘363500摘要：本文通過對典型實例的分析，全面系統(tǒng)地討論了數(shù)形結(jié)合在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞：幾何意義代數(shù)計算數(shù)形結(jié)合一、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造兩點間的距離求最值問題平面上兩點P（x，y）、A（a，b）間的距離公式為。因此關(guān)于x，y的二次式的最值問題可轉(zhuǎn)化為求兩點間距離的最值問題。例1.求函數(shù)的最小值。解：其幾何意義是點P（x，0）到點（1，2）與點（2，3）的距離之和的最小值。因為點A（1，2）關(guān)于x軸的對稱點為A‘（1，2），且

2、故（即）圖1例2.求函數(shù)的最大值。分析：由于的解析式中含有兩個根號，根號內(nèi)部都是x的二次式，以中學的代數(shù)方法很難出它的最大值，但如果巧妙用兩點的距離公式的方法，問題就簡單了。解：設(shè)，那么求函數(shù)表達式在軸上的動點P到定點A的距離減去P到B的距離。這時，點A，B，P為頂點，組成，如圖，圖2根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，那么當P位于AB和x軸的交點C的位置時，最大，故最大值二、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)成直線斜率問題解題過A（），B（）（），兩點的直線斜率是，因此涉及此類的比值的問題，可以考慮轉(zhuǎn)化為直線斜率來解

3、題。例3.求函數(shù)的最大值和最小值。分析：單純從代數(shù)角度考慮，當使的解析式的分子取最大（小）值時，分母并不是最?。ù螅┲担岳煤偷挠薪缧?，難以求得的最大（小）值，若，B（2，2），就是AB的斜率，而在單位圓上，這樣就很容易求解。解：令為單位圓上的點與定點P連線的斜率。設(shè)經(jīng)過點P（2，2），斜率為k的直線l：與圓相切，切點為和。則函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為斜率的最值。因為圓心O到直線的距離為1，即，化簡得，解得，故，圖3例4.已知x，y，且滿足，求的最大值和最小值。解：是過原點與動點（x，y）的直線斜率，顯然當直

4、線與圓相切時，取得最值。設(shè)直線方程為。由點到直線距離公式得，即，解之得：圖4斜率型問題的一般形式：已知點為曲線上的一點，求的最值，除此之外，一些比值問題也可以轉(zhuǎn)化為斜率型問題求解。三、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決數(shù)列問題利用數(shù)列的一些相關(guān)性質(zhì)，往往可以把數(shù)列問題構(gòu)造為一次函數(shù)來解題。例5.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，求公比。分析：若是公比的等比數(shù)列的前n項和，則點（）（n=1，2，）在同一直線上。解:根據(jù)題意知，由于分析知點（）、（）、（）共線。即由已知，，代人()式得：，四、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決方程

5、的根（函數(shù)的零點）的個數(shù)問題例6.已知函數(shù).(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍;(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.分析：函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法:(1)直接求零點:令f(x)=0,如果能求解,則有幾個解就有幾個零點;(2)零點存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)才能確定函數(shù)有多少個零點;(3)利用圖象交點的個數(shù):畫出兩個函數(shù)的圖象,看其交點的個數(shù),有幾個交點就

6、有幾個不同的零點.解:(1)法一:∵,等號成立的條件是,故的值域是[2e,+∞),因而只需,則g(x)=m就有零點.即m的取值范圍為[2e,+∞).圖5圖6法二:作出的大致圖象如圖:可知若使有零點,則只需.即m的取值范圍為[2e,+∞).(2)若有兩個相異的實根,即與的圖象有兩個不同的交點,∵?！嗥鋱D象的對稱軸為,開口向下,最大值為.故當,即時,與有兩個交點,即有兩個相異實根.∴m的取值范圍是。五、利用數(shù)形結(jié)合的方法，研究方程、曲線、函數(shù)、不等式中參數(shù)問題諸多的關(guān)于方程或不等式的問題，常轉(zhuǎn)化為方程與不

7、等式的函數(shù)圖像關(guān)系來解決。例7.設(shè)二次方程的兩根滿足：，求a的取值范圍。分析：構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)二次方程的兩根取值范圍，來確定拋物線與x軸的交點的橫坐標的變化區(qū)域及縱坐標的情況。解：設(shè)做出此函數(shù)的大致圖像（如圖）。，所以,即圖1解此不等式組得：。例8.求函數(shù)的最值。解：分別做出函數(shù)（如圖1）和（如圖2）的圖像，圖2二者疊加得圖3，圖3即是的圖像，由圖3，知.圖3需要特別注意的是，應(yīng)用圖像分析法，除了要對基礎(chǔ)知識深刻理解外，還應(yīng)該對圖像及其變化趨勢有準確的把握。否則出現(xiàn)錯誤就在所難免。六.利用數(shù)形結(jié)合的

8、方法，構(gòu)造立體圖形解題有些代數(shù)問題，其幾何意義不是一眼就看出來的，則需要靈活運用已學過的數(shù)學知識，進行適當?shù)淖冃魏颓擅顦?gòu)想，使這個代數(shù)表達式具有幾何意義。例8已知正實數(shù)a、b、c、d滿足，試證：分析：由已知容易聯(lián)系到長方體的對角線定理，不妨構(gòu)造一個三邊分別為a、b、c的長方體，則對角線長為d。根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的結(jié)論，命題就可得證。在數(shù)形結(jié)合教學中，通過各種例子，培養(yǎng)學生思維的靈活性，不斷地提高巧妙的運用數(shù)形結(jié)合知識。同時也告訴學生，所有的“形