資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)詳細(xì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程.pdf

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1、第9章資本市場(chǎng)均衡模型：資本資產(chǎn)定價(jià)模型識(shí)別出在均衡時(shí)刻，切點(diǎn)資產(chǎn)組合就是市場(chǎng)證券組合，正是夏普-林特納分析的所做出的重要貢獻(xiàn)。為了進(jìn)一步理解CML，我們有必要給出CML的具體方程：E?r??r??MfEr?r???PfP?MCML的推導(dǎo)過(guò)程：假設(shè)市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益率的期望為??,E?r??，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收MM益率的期望為??,r?（其中：??0），投資者持有市場(chǎng)組合與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的權(quán)重分別為fffx和(1?x)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券與市場(chǎng)組合組成的投資組合P的預(yù)期收益率期望為E?r?，方差為P2?。那

2、么這個(gè)新組合的預(yù)期收益率的期望和方差為：PE?r??x?E?r???1?x??rPMf2222222??x???(1?x)???2x(1?x)????x??PMfMfMfM即：?P?P?x??M，可知：x?，代入新組合P的期望公式，得到：?ME?r??x?E?r???1?x??rPMf????P???P???Er?1??rM??f??M?M?E?rM?rf????r???PfP??MME?r??rMf????rPf?ME?r??rMf故：E?r?????rPP?ME?r??rMf可見(jiàn)：CML的斜率為，它在縱

3、軸上的截距為r。f?M任何在資本市場(chǎng)線上資產(chǎn)組合，都是具有均值方差效率的資產(chǎn)組合，而單一證券和無(wú)效率的證券組合必然位于該線的下方。處在均衡狀態(tài)下的證券市場(chǎng)有兩個(gè)特征：（1）資本市場(chǎng)線的截距被視為等待（時(shí)間）的報(bào)酬（無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券收益率）；（2）資本市場(chǎng)線的斜率就是承受每一單位風(fēng)險(xiǎn)的所得到的報(bào)酬。CML也可以表示為：E?r??r??MfEr?r???PfP?M我們把資本市場(chǎng)上任何一只證券的預(yù)期收益率高過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的部分稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（RiskPremium）,證券組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為E?r??r，市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為

4、E?r??r，PfMf而市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)除以市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)水平就是CML的斜率，這個(gè)斜率被定義為風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)均衡價(jià)格。風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)均衡價(jià)格乘以組合的風(fēng)險(xiǎn)水平，就是組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即是：E?r??r??MfEr?r???PfP?M其實(shí)這也是剛才所說(shuō)的CML的另外一種表述。它把組合收益、組合風(fēng)險(xiǎn)水平、風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)均衡價(jià)格之間的關(guān)系準(zhǔn)備地揭示出來(lái)。風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)均衡價(jià)格是追求高收益、低風(fēng)險(xiǎn)的投資者，通過(guò)完善的資本市場(chǎng)交易最終形成的結(jié)果，但是，對(duì)于每一個(gè)投資者而言，他是這個(gè)價(jià)格的接受者（假設(shè)4）。我們也假設(shè)投資者總是持有無(wú)

5、風(fēng)險(xiǎn)證券和市場(chǎng)組合（市場(chǎng)組合又是風(fēng)險(xiǎn)被充分分散化后的組合或者說(shuō)市場(chǎng)組合僅僅含有不可分散風(fēng)險(xiǎn)而不再包含可分散風(fēng)險(xiǎn)了），因此，資本市場(chǎng)線告訴我們：（1）持有充分分散的市場(chǎng)組合時(shí)，我們可以用?表示其風(fēng)險(xiǎn)水平，否則用?表示組PP合的風(fēng)險(xiǎn)不一定適當(dāng)；（2）僅僅當(dāng)投資者持有市場(chǎng)組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的某種組合時(shí)，才能用資本市場(chǎng)線來(lái)確定組合的預(yù)期收益率，但是此時(shí)，資本市場(chǎng)線并不能給我們提供每一個(gè)證券的預(yù)期收益率。9.3證券市場(chǎng)線（SecurityMarketLine，簡(jiǎn)稱(chēng)SML）為了推導(dǎo)出最終的CAPM模型，我們還要再構(gòu)造一個(gè)

6、特殊的投資組合。這個(gè)投資組合由某一個(gè)證券i和市場(chǎng)組合M形成的組合。這個(gè)證券i和市場(chǎng)組合M在這個(gè)特殊組合中的權(quán)重分別為x和1?x，其中，0?x?1中，可以知道：當(dāng)x?0時(shí)，證券市場(chǎng)是均衡的（因?yàn)閕證券可以代表市場(chǎng)中的任何一只證券，如果對(duì)任何一個(gè)證券都不存在過(guò)度需求，那此時(shí)證券市場(chǎng)是均衡的。）；當(dāng)x?0時(shí)，證券市場(chǎng)是不均衡的，也就是說(shuō)市場(chǎng)上存在著對(duì)于這個(gè)i證券的過(guò)度需求；這個(gè)特殊組合的預(yù)期收益率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為E?r?和?，且這個(gè)i證券與市場(chǎng)PP組合M預(yù)期收益率之間的協(xié)方差為Cov?r,r?，那么，我們可以

7、得到：iME?r??x?E?r???1?x??E?r?PiM2222????x???(1?x)???2x(1?x)Covr,rPiMiM這個(gè)方程表示的是證券i和市場(chǎng)組合M形成的特殊組合的投資可行集，它們所組成的有效前沿是可行集的一個(gè)子集。如圖9-2所示：EF-Ⅰ是包含全部風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿，EF-Ⅱ是證券i和市場(chǎng)組合M形成的特殊組合的有效前沿，因?yàn)?，i與M的組合的可行集是全部風(fēng)險(xiǎn)證券可行集的一個(gè)子集，那么EF-Ⅱ肯定位于EF-Ⅰ的右下方，當(dāng)且僅當(dāng)x?0時(shí)，i和M的組合過(guò)M點(diǎn)，即EF-Ⅱ過(guò)M點(diǎn)，那么EF-Ⅱ必

8、然與EF-Ⅰ相切，且切點(diǎn)為M。dE?r?P那么，EF-Ⅱ在M點(diǎn)切線的導(dǎo)數(shù)（）和EF-Ⅰ在M點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相同，由前面d?Px?0E?r??rMf的討論我們知道EF-Ⅰ在M點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即是CML的斜率，那么：?MdE?rP?E?rM??rf?d??Px?0MdE?r?P所以我們要先求導(dǎo)出。d?P由前面的討論，可知：E?r??x?E?r???1?x??E?r?PiM2222????x???(1?x)???2x(1?x)Covr