必修二立體幾何典型例題

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1、WORD格式可編輯必修二立體幾何典型例題【知識(shí)要點(diǎn)】1．空間直線和平面的位置關(guān)系：(1)空間兩條直線：①有公共點(diǎn)：相交，記作：a∩b＝A，其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交．②無(wú)公共點(diǎn)：平行或異面．平行，記作：a∥b．異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直．(2)空間直線與平面：①有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交．直線在平面內(nèi)，記作：aa．直線與平面相交，記作：a∩a＝A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交．②無(wú)公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作：a∥a．(3)空間兩個(gè)平面：①有公共點(diǎn)：相交，記作：a∩b＝l，其中特殊位置關(guān)

2、系：兩平面垂直相交．②無(wú)公共點(diǎn)：平行，記作：a∥b．2．空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個(gè)公理與等角定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)．公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：①判定定理：如果平面外一條直線與此

3、平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行．如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．②性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行．如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(3)我們把上述

4、判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：專(zhuān)業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯【例題分析】例2在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面PAD．【分析】要證明“線面平行”，可通過(guò)“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明．證明：方法一，取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE．∵底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，∴MA∥CD，∵E是PD的中點(diǎn)，∴NE∥CD，∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AEN

5、M是平行四邊形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中點(diǎn)F，連接MF，NF．∵M(jìn)F∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．【評(píng)述】關(guān)于直線和平面平行的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝bg∩α＝a，g∩β＝ba∥ba∥ba∥ba∥b(2)證明線面平行：a∩α＝a∥bα∥β專(zhuān)業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯bα，aαaβa∥αa∥αa∥α(3)證明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α

6、，a⊥βα∥g，β∥ga，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求證：A1C⊥BC1．【分析】要證明“線線垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過(guò)BC1的平面即可．證明：連接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，∴側(cè)面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【評(píng)

7、述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開(kāi)的．如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．例4在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求證：平面PAC⊥平面PBC．【分析】要證明“面面垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又專(zhuān)業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯可以通過(guò)“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，∴AP

8、⊥平面PBC，又AP平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．【評(píng)述】關(guān)于直線和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)證明線面垂直：a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝lm，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)證明面面垂直：a⊥β，aαα⊥β例5如圖，在斜三棱柱