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《矩估計與極大似然估計的典型例題.pdf》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、關于矩估計與極大似然估計的典型例題例1，設總體X具有分布律?123?X~???22??θ2θ(1?θ)(1?θ)?其中0<θ<1為未知參數。已經取得了樣本值x1=1,x2=2,x3=1，試求參數θ的矩估計與極大似然估計。解：（i）求矩估計量，列矩方程（只有一個未知參數）22E(X)=θ+2×2θ(1?θ)+3×(1?θ)=3?2θ=X43?3?X3?x35得θ矩====2226（ii）求極大似然估計，寫出似然函數，即樣本出現的概率L(θ)=P(X=x,X=x,X=x)112233=P(X=1,X=2
2、,X=1)123=P(X=1)×P(X=2)×P(X=1)123225=θ×2θ(1?θ)×θ=2θ(1?θ)對數似然lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1?θ)dlnL(θ)51=?=0dθθ1?θ得極大似然估計為θ?=5極6例2，某種電子元件的壽命（以h記）X服從雙參數指數分布，其概率密度為?1?exp[?(x?μ)/θ],x≥μf(x)=?θ??0,其他其中θ，μ>0均為未知參數，自一批這種零件中隨機抽取n件進行壽命試驗，設它們的失效時間分別為x1,x2,L,xn.（1）求θ，μ的最大似然估
3、計量；（2）求θ，μ的矩估計量。解：（1）似然函數，記樣本的聯(lián)合概率密度為nL(θ，μ)=f(x1,x2,L,xn;θ，μ)=∏f(xi)i=1n?1?∏exp[?(xi?μ)/θ],x1,x2,L,xn≥μ=?i=1θ??0,其他n?1?nexp(?(∑xi?nμ)/θ),μ≤x(1)=?θi=1?0,μ>x?(1)在求極大似然估計時，L(θ，μ)=0肯定不是最大值的似然函數值，不考慮這部分，只考慮另一部分。取另一部分的對數似然函數nlnL(θ,μ)=?nlnθ?(∑xi?nμ)/θ,μ≤x(1)
4、i=1n??∑xi?nμ?lnL(θ,μ)n?=?+i=1=02??θθθ??lnL(θ,μ)n?=>0??μθ可知關于θ，μ的駐點不存在，但能判定單調性?lnL(θ,μ)n由=>0知?μθnlnL(θ,μ)=?nlnθ?(∑xi?nμ)/θ,μ≤x(1),i=1關于μ是增函數，故μ?=x極(1)n∑xi?nμ?lnL(θ,μ)n=?+i=1=將之代入到20中得?θθθθ?=x?x極(1)則μ?=xθ?=x?x極(1)，極(1)一定能使得似然函數達到最大，故θ，μ的極大似然估計為??θ?=x?x極(
5、1)???μ?極=x(1)（2）列矩方程組（兩個未知參數）?+∞1?E(X)=∫xexp[?(x?μ)/θ]dx=μ+θ=X?μθ?n2+∞212212?E(X)=xexp[?(x?μ)/θ]dx=(μ+θ)+θ=X∫∑i?μθn?i=1解出?1nθ?=(X?X)2?矩∑i?ni=1?1n?2?μ?矩=X?∑(Xi?X)?ni=1例3，設總體X~U[0,θ]，其中θ>0為未知參數，X1,X2,K,Xn為來自總體X的一組簡單隨機樣本，x1,x2,K,xn為樣本觀察值，求未知參數θ的極大似然估計。解：似
6、然函數，即樣本的聯(lián)合概率密度?1n,0≤x,x,L,x≤θ?n12nL(θ)=f(x1,x2,L,xn;θ)=∏f(xi)=?θi?1?0,else?L(θ)=0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值，取對數似然lnL(θ)=?nlnθ,θ≥x(n)dlnL(θ)n=?<0dθθ知lnL(θ)=?nlnθ在θ≥x(n)內是單調遞減的，故θ取x(n)能使得似然函數達到最大，則θ的極大似然估計值為θ?=x，極大似然估計量為θ?=X極(n)極(n)
