數(shù)值分析計(jì)算方法超總結(jié)

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1、工程碩士《數(shù)值分析》總復(fù)習(xí)題（2011年用）[由教材中的習(xí)題、例題和歷屆考試題選編而成,供教師講解和學(xué)生復(fù)習(xí)用]一.解答下列問題:1）下列所取近似值有多少位有效數(shù)字(注意根據(jù)什么?):a)對e=2.718281828459045…,取=2.71828b)數(shù)學(xué)家祖沖之取作為的近似值.c)經(jīng)過四舍五入得出的近似值12345，-0.001,90.55000,它們的有效數(shù)字位數(shù)分別為位,位,位。2)簡述下名詞:a)截?cái)嗾`差(不超過60字)b)舍入誤差(不超過60字)c)算法數(shù)值穩(wěn)定性(不超過60字)3)試推導(dǎo)(按定義或利用近似公式):計(jì)算時(shí)的相對誤差約等于的相對誤差的3倍。4)

2、計(jì)算球體積時(shí),為使其相對誤差不超過0.3%,求半徑的相對誤差的允許范圍。5）計(jì)算下式時(shí),為了減少乘除法次數(shù),通常采用什么算法?將算式加工成什么形式?6)遞推公式如果取(三位有效數(shù)字)作近似計(jì)算，問計(jì)算到時(shí)誤差為初始誤差的多少倍？這個計(jì)算過程數(shù)值穩(wěn)定嗎？二.插值問題:1)設(shè)函數(shù)在五個互異節(jié)點(diǎn)上對應(yīng)的函數(shù)值為，根據(jù)定理，必存在唯一的次數(shù)（A）的插值多項(xiàng)式，滿足插值條件(B).對此，為了構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式,由5個節(jié)點(diǎn)作(C)個、次數(shù)均為(D)次的插值基函數(shù)第8頁(共8頁)=_（E），從而得Lagrange插值多項(xiàng)式=（F）,而插值余項(xiàng)=（G）。2)試用三種方法求過

3、三個離散點(diǎn)：A（0，1）、B（1，2）、C（2，3）的插值多項(xiàng)式。3）求函數(shù)在[0,1]上的近似一次插值多項(xiàng)式。4)由函數(shù)值表::123:0.367879441,0.135335283,0.049787068求的近似值.5)利用插值方法推導(dǎo)三.擬合問題:1)對離散實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做最小二乘擬合的兩個主要步驟是(A)和(B).2)對同一個量的多個近似值,常取其算術(shù)平均作為該量的近似值,這種做法的意義是什么?3)設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：1.361.731.952.2814.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其擬合曲線。4)已知某試驗(yàn)過程中函數(shù)依賴于的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：：

4、4：0.81.51.82.0試按最小二乘法擬合出一個形如的經(jīng)驗(yàn)公式。5)設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：12344101826按最小二乘法擬合出一個形如的經(jīng)驗(yàn)公式。四.數(shù)值求積:1)寫出數(shù)值求積公式的一般形式,指出其特點(diǎn),并說明它對計(jì)算機(jī)的計(jì)算有什么意義?第8頁(共8頁)2)簡述數(shù)值求積公式的”代數(shù)精度”的概念3)插值型求積公式中,每個系數(shù)可用公式=(A)計(jì)算,它們之和=(B),其代數(shù)精度(C).又Newton-Cotes公式的一般形式為(D),其主要特點(diǎn)是(E),其Cotes系數(shù)之和=(F),其代數(shù)精度(G);4)考察數(shù)值求積公式,直接指出:它是什么類型的公式?為使其精度盡可能高,

5、應(yīng)取什么確值?它是不是Gauss型公式?5)求的近似值,試寫出使用11個等分點(diǎn)函數(shù)值的求積公式(要求只列出數(shù)值公式,不需要求出具體結(jié)果)。6)利用復(fù)化Simpson公式求積分的近似值（只需列出算式）。7)利用現(xiàn)成函數(shù)表，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分五.解線性代數(shù)方程組的直接法:1）Gauss消去過程中引入選主元技巧的目的是下列中的哪一項(xiàng)或哪幾項(xiàng)？A．提高計(jì)算速度；B．提高計(jì)算精度；C．簡化計(jì)算公式；D．提高計(jì)算公式的數(shù)值穩(wěn)定性；E．節(jié)省存儲空間。第8頁(共8頁)2）采用“列主元Gauss消去法”解下列方程組：a)用”列主元Gauss消去過程”將方程

6、組約化成上三角方程組;b)用”回代過程”依次列式計(jì)算出方程組的解。3)設(shè)方程組現(xiàn)采用“列主元Gauss消去法”求解，試回答：a）所用列主元Gauss消去法包括哪兩個過程？b）要用幾步消元？c）每一步消元計(jì)算之前需做哪些工作（用簡短、準(zhǔn)確的文字?jǐn)⑹觯?d）現(xiàn)經(jīng)第１步消元結(jié)果,上述方程組已被約化為請你繼續(xù)做消元計(jì)算,直至約化成上三角方程組。e）對所得上三角方程組依次列式計(jì)算出方程組的解。六.解線性代數(shù)方程組的迭代法:1)解線性代數(shù)方程組的基本型迭代公式其中稱為什么?又稱為什么?如果迭代序列有極限（即迭代公式收斂），則極限是什么？2）設(shè)解線性代數(shù)方程組（其中非奇異，）的迭代公

7、式為則其迭代矩陣是什么?此迭代公式對任意的初始向量第8頁(共8頁)收斂的充分必要條件是什么？又此迭代公式對任意的初始向量收斂的一個充分條件是什么？3)設(shè)線性方程組，試構(gòu)造解此方程組的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；試問所作的兩種迭代公式是否收斂,為什么?試用初值計(jì)算GS迭代公式的前三個值.4)設(shè)方程組試構(gòu)造解此方程組的收斂的Jacobi迭代公式和收斂的Guass-Seidel迭代公式,并說明兩者收斂的根據(jù);求出這兩種迭代的迭代矩陣.5)設(shè)線性方程組請按便于計(jì)算的收斂充分條件,求使J法和GS法均收斂的的取值范圍.七．一元方程求根:1)寫