單變量隨機(jī)過(guò)程的建模與譜估計(jì)

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1、第六章單變量隨機(jī)過(guò)程的建模與譜估計(jì)6.1概述6.1.1引言一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程的主要統(tǒng)計(jì)特性可用它的協(xié)方差函數(shù)或等價(jià)的譜函數(shù)來(lái)刻畫(huà)。但是協(xié)方差函數(shù)和譜函數(shù)都是用無(wú)限個(gè)數(shù)值，即一條曲線來(lái)描述，使用不方便，尤其是在預(yù)測(cè)、濾波、控制等應(yīng)用場(chǎng)合。根據(jù)隨機(jī)信號(hào)理論知，若平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)滿(mǎn)足表示定理?xiàng)l件，它可以被看作是某一線性定常系統(tǒng)對(duì)白噪聲輸入的響應(yīng)，即(6-1)其中是方差為的白噪聲，是后移位算子的有理多項(xiàng)式，并且的功率譜密度函數(shù)可以表示為(6-2)因此，可以用系統(tǒng)傳遞函數(shù)的有限個(gè)參數(shù)來(lái)刻畫(huà)該過(guò)程的主要統(tǒng)計(jì)特性。另外，經(jīng)典的隨機(jī)信號(hào)譜估計(jì)方法是確定信號(hào)譜估計(jì)方法的推廣，所獲得的譜估計(jì)

2、量是非一致的。各種改進(jìn)算法，如平滑、加窗、分段平均等，但是它們也都在曲線平滑程度與峰值分辨率之間存在矛盾。用模型估計(jì)方法的基本思路是，先估計(jì)過(guò)程模型參數(shù)，再由參數(shù)估計(jì)譜，以便得到更好的估計(jì)量。6.1.2平穩(wěn)過(guò)程的線性模型表達(dá)由線性環(huán)節(jié)的三種形式(6-3)可以導(dǎo)出平穩(wěn)過(guò)程的三種標(biāo)準(zhǔn)的線性模型表達(dá)：1)p階自回歸過(guò)程阿AR(p)(6-4)或(6-5)2)q階滑動(dòng)平均過(guò)程MA(q)(6-6)或(6-7)3)p、q階自回歸滑動(dòng)平均過(guò)程ARMA(p,q)(6-8)或(6-9)1)若是漸近穩(wěn)定的，則AR(p)過(guò)程等價(jià)于MA(∞)過(guò)程，即(6-10)2)若是最小相位的，則MA

3、(q)過(guò)程等價(jià)于AR(∞)過(guò)程，即18(6-11)3)若是漸近穩(wěn)定且最小相位的，則ARMA(p,q)過(guò)程等價(jià)于AR(∞)過(guò)程，即(6-12)4)若是漸近穩(wěn)定且最小相位的，則ARMA(p,q)過(guò)程等價(jià)于MA(∞)過(guò)程，即(6-13)6.2平穩(wěn)過(guò)程的AR(p)模型估計(jì)6.2.1AR(p)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)式(6-5)左乘，并取數(shù)學(xué)期望，得(6-14)即(6-15)因?yàn)锳R(p)過(guò)程可以用MA(∞)表示，即因此(6-16)將式(6-16)代入式(6-15)，得自相關(guān)函數(shù)的通解,(6-17)邊界條件(6-18)(6-18)式就是AR(p)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)方程，又稱(chēng)為Yule－W

4、alker方程（簡(jiǎn)稱(chēng)：Ｙ－Ｗ方程）。記(6-19)18,(6-20)則式(6-18)可以改寫(xiě)為矩陣形式(6-21)定義置換矩陣是單位正交矩陣，即。記,(6-22)則有，，因此，對(duì)（6－21）左乘、右乘，得(6-23)6.2.2AR過(guò)程的前向線性預(yù)測(cè)所謂階前向線性預(yù)測(cè)就是用過(guò)程的時(shí)刻以前的個(gè)觀測(cè)值的線性組合來(lái)估計(jì)ｎ時(shí)刻的值，使前向預(yù)測(cè)誤差(6-24)的均方差(6-25)最小。ｐ階前向線性預(yù)測(cè)可以表示為(6-26)ｐ階前向線性預(yù)測(cè)誤差為(6-27)其中ｐ階前向線性預(yù)測(cè)誤差的均方差為(6-28)由最小值條件，得18,(6-29)即,因此，最優(yōu)的ｐ階前向線性預(yù)測(cè)方程(6

5、-26)中的系數(shù)滿(mǎn)足,(6-30)并且，ｐ階前向線性預(yù)測(cè)誤差為(6-31)其中ｐ階預(yù)測(cè)誤差的方差為(6-32)將式(6-29)代入式(6-32)，得(6-33)顯然，聯(lián)立式(6-33)和式(6-30)就是Ｙ－Ｗ方程(6-18)，只是AR-(ｐ)過(guò)程模型輸入的方差變?yōu)轭A(yù)測(cè)誤差的方差。結(jié)論：１）AR-過(guò)程的最小均方意義下的ｐ階前向線性預(yù)測(cè)參數(shù)滿(mǎn)足ｐ階Ｙ－Ｗ方程。２）如果AR-過(guò)程的真實(shí)階次就是ｐ，則＝，。此時(shí)，ｐ階前向線性預(yù)測(cè)誤差成為白噪聲。因此，前向線性預(yù)測(cè)誤差濾波器又稱(chēng)為白化濾波器。5.2.3AR-過(guò)程的后向(線性)預(yù)測(cè)所謂ｐ階后向線性預(yù)測(cè)就是，用過(guò)程的n-p時(shí)

6、刻以后的ｐ個(gè)值來(lái)估計(jì)n-p時(shí)刻的值，使后向線性預(yù)測(cè)誤差(6-34)的均方差(6-35)最小。ｐ階后向線性預(yù)測(cè)可以表示為(6-36)ｐ階后向線性預(yù)測(cè)誤差為(6-37)其中ｐ階后向線性預(yù)測(cè)誤差的均方差為18(6-38)由最小值條件，得,(6-39)即,因此，最優(yōu)的ｐ階后向線性預(yù)測(cè)方程(6-36)中的系數(shù)滿(mǎn)足,(6-40)并且，ｐ階后向線性預(yù)測(cè)誤差為(6-41)其中ｐ階后向線性預(yù)測(cè)誤差的均方差為(6-42)將式(6-39)代入式(6-42)，得(6-43)顯然，聯(lián)立式(6-43)和式(6-40)也是Ｙ－Ｗ方程(6-18)，只是AR-(p)過(guò)程模型輸入的方差變?yōu)椋痣A后向

7、線性預(yù)測(cè)誤差的均方差。由Ｙ－Ｗ方程解的唯一性知，ｐ階前向線性預(yù)測(cè)方程(6-26)和ｐ階后向線性預(yù)測(cè)方程(6-36)中的系數(shù)相等，即(6-44)因此，ｐ階前、后向線性預(yù)測(cè)濾波器的關(guān)系為或(6-45)最優(yōu)的ｐ階后向線性預(yù)測(cè)誤差方程(6-41)又可改寫(xiě)為(6-46)結(jié)論：AR-過(guò)程的最小均方意義下的ｐ階后向線性預(yù)測(cè)參數(shù)滿(mǎn)足ｐ階Ｙ－Ｗ方程。6.2.4AR-模型參數(shù)估計(jì)的Levinson-Durbin算法（簡(jiǎn)稱(chēng)Ｌ-Ｄ算法）Ｌ－Ｄ算法是已知相關(guān)函數(shù)，估計(jì)模型參數(shù)。根據(jù)前二節(jié)的討論知，AR-過(guò)程的ｐ階前向線性預(yù)測(cè)模型參數(shù)滿(mǎn)足ｐ階Ｙ－Ｗ方程，即(6-47)且(6-48)ｐ＋１階

8、前向線性預(yù)測(cè)模型參數(shù)滿(mǎn)足