二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型.ppt

《二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。

1、向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性1方陣的特征值與特征向量2相似矩陣3對(duì)稱矩陣的對(duì)角化4相似矩陣及二次型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型5正定二次型6第五章相似矩陣及二次型內(nèi)容概要第五章相似矩陣及二次型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型5.5教學(xué)要求1.掌握二次型及其有關(guān)概念掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的兩種方法正交變換法、配方法5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型引例對(duì)于一般的二次曲線，只要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換就可將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)型（二次齊次式，只含平方項(xiàng)）在物理、力學(xué)及工程也有類似的問(wèn)題，且往往是不止含有兩個(gè)變量的二次齊次式，也可通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性變換，化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)型。一二次型有關(guān)概念含有n個(gè)變量的二次齊

2、次多項(xiàng)式稱為n元二次型。定義5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型二次型主要問(wèn)題尋找可逆的線性變換二次型的標(biāo)準(zhǔn)型規(guī)范型作可逆變換5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型一二次型有關(guān)概念5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型A為對(duì)稱矩陣一二次型有關(guān)概念（1）A一定是對(duì)稱陣；（4）標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣為對(duì)角陣；（5）規(guī)范型的矩陣也是對(duì)角陣,（2）A的對(duì)角線上的元素恰為的系數(shù)，對(duì)角元只能為1，-1或0。（3）是的系數(shù)的一半；5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型一二次型有關(guān)概念稱實(shí)矩陣A為二次型f的矩陣。f與A可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,即給了二次型，就可以得到實(shí)對(duì)稱矩陣A;反之，給出了一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，就可寫(xiě)出一個(gè)二次型f。A的秩就是

3、二次型f的秩。一二次型有關(guān)概念5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型將二次型寫(xiě)成矩陣形式課堂練習(xí)答案，并求出f的秩。練習(xí)5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型二正交變換法前邊提到將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的主要問(wèn)題為：尋找可逆的線性變換記得到標(biāo)準(zhǔn)型5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型若c為正交矩陣，在正交變換下就可將f轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型二正交變換法5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型得到標(biāo)準(zhǔn)型前邊提到將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的主要問(wèn)題為：尋找可逆的線性變換因?yàn)閷?shí)二次型的矩陣A為實(shí)對(duì)稱方陣，故對(duì)任一個(gè)n元實(shí)二次型，一定可以找到一個(gè)正交變換，使得其中C為正交陣為實(shí)對(duì)稱方陣A的特征值。其中如何得到C呢定理5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型C的列向量

4、是矩陣A的兩兩正交的單位向量，其中第j列是?j對(duì)應(yīng)的特征向量二正交變換法求正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。練習(xí)5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型課堂練習(xí)P130例14練習(xí)1合同的定義與性質(zhì)設(shè)A和B是n階矩陣,若有可逆矩陣C，使性質(zhì)，我們稱A與B（1）當(dāng)C為正交陣時(shí)，因而正交相似變換也是合同變換。（2）A與B合同A，B的特征值中正項(xiàng)個(gè)數(shù)和負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相等。定義合同。5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型配方法用正交變換法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，具有保持向量長(zhǎng)度不變（設(shè)Q為n階正交陣，y=Qx,則）的優(yōu)點(diǎn)。如果不限于用正交變換，還有很多方法，下面用配方法分兩種情形來(lái)討論。配方法含有平方項(xiàng)xi2不含

5、有平方項(xiàng)xi2，只有交叉項(xiàng)xixj5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣。解由于f中含變量x1的平方項(xiàng),故把含x1的項(xiàng)歸并起來(lái)，配方可得不再含x1繼續(xù)配方，可得例15.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型配方法化二次型令即就把f化成標(biāo)準(zhǔn)型（規(guī)范型）所用的變換矩陣為5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣。例1配方法解由于f中不含平方項(xiàng),含x1x2的乘積項(xiàng)，故令代入可得再配方，得令5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型配方法成規(guī)范型，并求所用的變換矩陣?；涡屠?令即就把f化成規(guī)范型5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型配方法成規(guī)范型，并求所用的變換矩陣?；涡屠?因?yàn)?/p>

6、x=c1y=c1c2z,故所用的變換矩陣為5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型配方法成規(guī)范型，并求所用的變換矩陣?；涡屠?小結(jié)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型顯然不是唯一的，只是標(biāo)準(zhǔn)型中所含的項(xiàng)數(shù)（系數(shù)≠0）確定（即是二次型的秩。在限定變換為實(shí)變換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的（負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)也不變）。這與選擇的線性變換無(wú)關(guān)。5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型求一可逆變換將該二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并求出規(guī)范形。練習(xí)25.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型課堂練習(xí)練習(xí)25.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型課堂練習(xí)練習(xí)25.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型課堂練習(xí)所用的可逆變換為練習(xí)2方程在空間直角坐標(biāo)系下表示什么曲面？5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

7、課堂練習(xí)練習(xí)3解：由練習(xí)1（P130，例14）的標(biāo)準(zhǔn)型為故在空間直角坐標(biāo)系下表示單頁(yè)雙曲面設(shè)二次型試求a，b及經(jīng)正交變換化成，5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型課堂練習(xí)練習(xí)4經(jīng)正交變換化成，解：二次型f正交陣Q。意味著f的矩陣A的特征值為0,1,2慣性定理設(shè)有二次型，它的秩為r有兩個(gè)中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等。慣性定理可逆變換及使及則中正數(shù)的個(gè)數(shù)與正慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)從而負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)也相等。設(shè)二次型f的正慣性指數(shù)為p,秩為r,則f的規(guī)范型可確定為5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型的秩為正慣性指數(shù)為負(fù)慣性指數(shù)為正（負(fù)）慣性指數(shù)等于矩陣正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)形中正（負(fù)）平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)。正

8、（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù)與正（負(fù)）慣性指數(shù)有什么關(guān)系？211思考5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型慣性定理練習(xí)5