導數(shù)在函數(shù)中的應用張秀斌

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1、導數(shù)在函數(shù)中的應用張秀斌張秀斌山東省海陽市第一中學265100摘要：木文主要是通過對導數(shù)在函數(shù)解題中的應用加以歸納、探討和總結，提高學生對導數(shù)的應用的認識，加強學生對導數(shù)的概念的理解，加深學生對函數(shù)知識及函數(shù)有關題型的認識。關鍵詞：導數(shù)函數(shù)函數(shù)的增減導數(shù)是高中數(shù)學教材中的重要內容之一，在數(shù)學教材中占據(jù)著舉足輕重的地位。導數(shù)不僅在高中數(shù)學的許多問題的解決上能起到化繁為簡、化難為易的作用，而且更是連接初等數(shù)學與高等數(shù)學的紐帶，為高三學生進入高校之后學習高等數(shù)學知識奠定了堅實的基礎。正因為導數(shù)在高中數(shù)學中的廣泛應用，現(xiàn)已成為高考命題的熱點和重點內容。木文通過探討導數(shù)在函數(shù)解題

2、中的應用，以期開闊學生的解題思路，提高學生分析問題和解決問題的能力。一、導數(shù)在求函數(shù)的解析式中的應用解析法是最常用、最重要的一種函數(shù)表示方法，能非常清晰明了地表達出函數(shù)中兩個變量的關系。所以求出函數(shù)的解析式對于研究函數(shù)的性質有很重要的影響，而導數(shù)在求函數(shù)的解析式中是一種重要的工具。例1:設函數(shù)f(x)=ax3-bx2+9x+2,若f(x)在x=l處的切線方程為3x+y-6=0,試確定函數(shù)f(x)的解析式。分析：由導數(shù)的幾何意義知函數(shù)在x=l處的導數(shù)即為切線的斜率，乂切點在函數(shù)圖像上，可得關于a,b的方程組，解之即可得到所求解析式。解：由已知得切點(1,3),f(x)=3

3、ax2-2bx+9,{f(l)=a-b+9+2=3a=4f(-l)=3a-2b+9=-3b=12所以，f(x)=4x3-12x2+9x+2o總結反思:求函數(shù)的切線的斜率是導數(shù)的幾何意義的具體應用，涉及到復雜函數(shù)在某點的切線問題一般考慮導數(shù)。二、導數(shù)在研宄函數(shù)的單調性中的應用函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，是研究函數(shù)的性質吋必須要關注的一個性質，也是解決函數(shù)問題經(jīng)常要考慮和利用的性質。而函數(shù)的單調性與函數(shù)的導數(shù)密切相關，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性吋，結合導數(shù)的幾何意義，只需考慮f(x)的正負即可?即：當f(x)>O吋，f(x)單調遞增；當f(x)<時，f(

4、x)單調遞減。此方法簡單快捷而II適用面廣。三、導數(shù)在求函數(shù)的單調區(qū)間中的應用例2:求f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區(qū)間。分析：1.求函數(shù)的單調區(qū)間必須先求函數(shù)的定義域；2.利用導數(shù)求復雜函數(shù)的單調區(qū)間，能夠化繁為簡。解:顯然f(x)定義域為(-∞,+∞)，又f'(x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-2),由f(x)〉O，即6(x-1)(x-2)>0,得x

5、點1,2處可閉可開；兩個單調區(qū)間不能“并”起來。變式：已知函數(shù)f(x}=x2+2xtanθ-l，x∈[-l,3],其中θ∈(-，)，求θ的取值范圍，使f(x)在區(qū)間[-1,3】上是單調函數(shù)。分析：函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上是單調函數(shù)，應該分單調遞增、單調遞減兩種情況討論；已知函數(shù)在某一區(qū)間上是增函數(shù)，在該區(qū)間上f(x)人于等于0恒成立?？偨Y反思：利用導數(shù)求使得函數(shù)在某一區(qū)間上是單調函數(shù)的參數(shù)取值范圍問題吋，解的端點一定要進行檢驗，以避免使得函數(shù)為常函數(shù)。四、導數(shù)在求函數(shù)的最(極)值中的應用求函數(shù)的最(極)值是高中數(shù)學

6、的重點和難點，也是練過程中經(jīng)常遇到的問題，更是高考中重點考查的內容。利用導數(shù)解決這類問題能夠冇效地簡化解題過程，使得解題步驟更加清晰明了，達到化繁為簡的效果。1.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)求導數(shù)f′(x)。(2)求方程f′(x)=O的根。(3)用(2)中方程的根，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格。(4)根據(jù)f′(x)在方程根左右的值的符號，判斷并求出函數(shù)的極大值和極小值。2.求在閉區(qū)間［a,b］上可導的函數(shù)f(x)在［a山】上最值的步驟：只需在求出函數(shù)f(x)在［a,b］上的極值的前提下，求出端點的函數(shù)值，

7、并比較f(x)在極值點和端點的函數(shù)值即可。五、導數(shù)在求函數(shù)值域中的應用函數(shù)值域是函數(shù)的重要的性質之一，也是高中數(shù)學的重點和難點，求解方法多種多樣，所以對學生而言很難掌握。而如果能夠靈活地利用導數(shù)來求解，則能化難為易，并II導數(shù)基本能夠解決任何求函數(shù)值域問題。導數(shù)在高中數(shù)學中有著很廣泛應用，與高中數(shù)學的很多方面都有所涉及。本文只是對導數(shù)在有關函數(shù)解題中的應用進行了初步的探討，簡單總結了導數(shù)知識在研究函數(shù)的解析式、單調性、單調區(qū)間、極值(最值)及值域等問題的基本方法，從一個方面闡述了導數(shù)在我們研宄中學數(shù)學的重要地位和作用。