巧用動態(tài)圓求解帶電粒子在有界勻強磁場中運動的問題

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1、巧用動態(tài)圓求解帶電粒子在有界勻強磁場中運動的問題丁千軍江蘇省泰州市民興實驗中學225300“帶電粒子在磁場中的運動”是歷年高考中的一個重要考點，而“帶電粒子在有界磁場中的運動”則是此考點中的一個難點。它難在帶電粒子進入設(shè)定的有界磁場后只運動一段圓弧就飛出磁場邊界，其軌跡不是完整的圓，它要求考生根據(jù)帶電粒子運動的幾何圖形去尋找?guī)缀侮P(guān)系，分析臨界條件，然后應(yīng)用數(shù)學工具和相應(yīng)的物理規(guī)律處理問題。如何巧用動態(tài)圓求解帶電粒子在有界勻強磁場中運動的極值問題？我們可以從下列兩個模型入手解決這類問題：模型一：如圖

2、1，一束帶負電的粒子以初速度v垂直進入勻強磁場，若初速度v方向相同，大小不同，所有粒子運動軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增大時，軌道半徑隨著增大，所有粒子的軌跡組成了一組動態(tài)的內(nèi)切圓0例1.如圖2所示，勻強磁場的邊界為平行四邊形ABDC，其中AC邊與對角線BC垂直。一束電子以大小不同的速度沿BC從B點射入磁場，不計電子的重力和電子之間的相互作用，關(guān)于電子在磁場中運動的情況，下列說法中正確的是（）。A.入射速度越大的電子，其運動時間越長B.入射速度越大的電子，其運動軌跡越長C.從AB邊出射

3、的電子的運動時間都相等D.從AC邊出射的電子的運動時間都相等解析：電子以不同的速度沿BC從B點射入磁場，若電子從AB邊射岀，畫出其運動軌跡。由幾何關(guān)系可知:在AB邊射出的粒子軌跡所對的圓心角相等，在磁場中的運動吋間相等，與速度無關(guān)，C對，A錯；從AC邊射出的電子軌跡所對圓心角不相等，且入射速度越大，其運動軌跡越短，在磁場中的運動吋間不相等，B、D錯。答案：ACD<,模型二:如圖3所示,一束帶正電的粒子以初速度v垂直進入勻強磁場，若初速度v大小相MJ,方向不同，則所有粒子運動的軌道半徑相同，但不同粒

4、子的圓心位置不同，.其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點為圓心、以軌道半徑為半徑的圓上，從而可以找出動態(tài)圓的圓心軌跡。例2.如圖4所示，在y軸右側(cè)平面內(nèi)存在方向向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小B=0.5T。坐標原點0有一放射源，可以向y軸右側(cè)平面沿各個方向放射比荷為=2.5×10-7Kg/C的正離子，這些離子速率分別在從0到最大值vm=2×106m/s的范圍內(nèi)。不計離子之間的相互作用：(1)若在某吋刻沿+x方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過×10-7s吋這些離子所

5、在位置構(gòu)成的曲線方程。(2)若從某吋刻開始向y軸右側(cè)各個方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過×10-7s吋已進入磁場的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積。解析：(1)大家解題時若能從動態(tài)圓模型角度思考，就可以迅速得出離子軌跡符合模型一，該吋刻所有離子軌跡所對應(yīng)的圓心角相等，如圖4,從而得到離子的位置。進入磁場的離子中做圓周運動的半徑最大，由牛頓第二定律得：Bqv=m；解得：R==lm。離子在磁場中運動的周期為T,則T===π×10-6sot時刻吋，這?離子軌跡所對應(yīng)的圓心角為&thet

6、a;，則θ==,這些離子構(gòu)成的曲線如圖所示。令某一離子在此吋刻的坐標為(x，y)，則x=rsinθ，y=r(l-cosθ)，代入數(shù)據(jù)并化簡得:y=x(0≤x≤)。(2)離子軌跡符合模型二，最大速率的離子作圓周運動的圓心分布在以0為圓心、0C為半徑的圓周上，如圖6，沿x軸負方向運動的最大速率的離子在該時刻恰好運動到B點，0B為其運動圓弧所對應(yīng)的弦，離子的初速度速度方向與弦的夾角為，且所有離子的規(guī)律均相似。圖5中的0B段沿逆吋針方向旋轉(zhuǎn)，與y軸所圍成的面

7、積即為在t=0向y軸右側(cè)各個方向不斷放射各種速率的離子在t=×10-7吋己進入磁場的離子所在區(qū)域，如圖7。由幾何關(guān)系可求得此面積為：S=πR2+πR2-R×R=πR2-R2貝1J:S=(π-)m2。點評：離子束在有界勻強磁場中運動的問題，難度較大，考查大家的分析推理、空間想像等能力。解答此類問題要理清物體運動規(guī)律，分析出粒子運動的圓心和作出粒子運動的軌跡是關(guān)鍵，再利用幾何關(guān)系求解。