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1、二、拋物線的焦點弦性質(zhì)例1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)
2、AB
3、=x1+x2+p(2)通徑長為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則
4、AB
5、=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準線相切.(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。xOyABFθxOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)
6、AB
7、=x1+x2+p(2)通徑長為2pAXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px
8、(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(5)以AB為直徑的圓與準線相切.故以AB為直徑的圓與準線相切.XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(6)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90o。123456過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;證明：思路分析：韋達定理xOyABFxOyABFF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交
9、,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性質(zhì)焦點F對A、B在準線上射影的張角為90°。代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(1).若直線過定點M(s,0)(s>0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.證明：設(shè)AB的方程為ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(s,0)(s>0)證明：lyy2=2pxAMxB過拋物線y2=2
10、px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(4)若直線AB的傾斜角為θ,則
11、AB
12、=2p/sin2θxOyABFθ證明:思路分析
13、AB
14、=
15、AF
16、+
17、BF
18、=思考：焦點弦何時最短？過焦點的所有弦中，通徑最短xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準線于C,則直線CB平行于拋線的對稱軸.xyFABCO例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直
19、線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過B作BC⊥準線l,垂足為C,則AC過原點O共線.(2001年高考題)xyFABCO例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的 兩點，且OA⊥OB，1.求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；2.求證：直線AB過定點；3.求弦AB中點P的軌跡方程；4.求△AOB面積的最小值；5.求O在AB上的射影M軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(1)求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；[解答](1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點P(x0,y0)，∵OA⊥OB
20、∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=?4p2∴x1x2=4p2.例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(2)求證：直線AB過定點；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1?y2)(y1+y2)=2p(x1?x2)∴AB過定點T(2p,0).同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(3)求弦AB中點P的軌跡方程；即y02=px0-2p2，∴中點M軌跡方程y2=px-2p2(3)設(shè)OA∶y=kx，代入y
21、2=2px得:k0，(4)當且僅當
22、y1
23、=
24、y2
25、=2p時，等號成立.例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(4)求△AOB面積的最小值；(5)法一：設(shè)M(x3,y3),則例3.A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.由(1)知，y1y2=-4p2，整理得：x32+y32-2px3=0，∴點M軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).∴M
