傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換

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1、傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換內(nèi)容傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開(kāi)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉積分實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分傅里葉變換式的物理意義—頻譜傅里葉變換傅里葉變換的定義多維傅氏變換廣義傅里葉變換(不要求)積分變換(不要求)一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象矩形波可看成如下各不同頻率正弦波的逐個(gè)疊加物理意義：把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。一點(diǎn)歷史1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，但遭到拉格朗日(L

2、agrange)的強(qiáng)烈反對(duì),論文從未公開(kāi)露面過(guò)。1822年，他在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了《熱的分析理論》，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。傅里葉、傅利葉、傅立葉Fourier傅里葉變換在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，人們常采用變換的方法來(lái)達(dá)到目的．例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換化為較簡(jiǎn)單的加法和減法運(yùn)算．在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一．積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸多分

3、支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無(wú)線電技術(shù)以及信號(hào)處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用．7.1傅里葉級(jí)數(shù)7.1.1周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)定義7.1.1傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式傅里葉系數(shù)若函數(shù)以為周期，即為的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域?yàn)?，則可取三角函數(shù)族(7.1.2)作為基本函數(shù)族，將展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)（即下式右端級(jí)數(shù)）(7.1.3)式（7.1.3）稱為周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（簡(jiǎn)稱傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)），其中的展開(kāi)系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（簡(jiǎn)稱傅氏系數(shù)）．函數(shù)族(7.1.2)是正交的．即為：其中任意兩個(gè)函數(shù)的乘積在一個(gè)周期上

4、的積分等于零，即利用三角函數(shù)族的正交性，可以求得(7.1.3)的展開(kāi)系數(shù)為積化和差公式積分（7.1.4）關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理7.1.1若函數(shù)滿足條件：(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則級(jí)數(shù)（7.1.3）收斂，則在收斂點(diǎn)有：在間斷點(diǎn)有：7.1.2奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開(kāi)定義7.1.2傅里葉正弦級(jí)數(shù)傅里葉余弦級(jí)數(shù)若周期函數(shù)是奇函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式(7.1.4)可見(jiàn)，所有均等于零，展開(kāi)式(7.1.3)成為(7.1.5)這叫作傅里葉正弦級(jí)數(shù)．容易檢驗(yàn)（

5、7.1.5）中的正弦級(jí)數(shù)在處為零．由于對(duì)稱性，其展開(kāi)系數(shù)為若周期函數(shù)是偶函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)計(jì)算公式可見(jiàn)，所有均等于零，展開(kāi)式(7.1.3)成為(7.1.6)這叫作傅里葉余弦級(jí)數(shù)．同樣由于對(duì)稱性，其展開(kāi)系數(shù)為(7.1.7)由于余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)，所以余弦級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處為零．而對(duì)于定義在有限區(qū)間上的非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，需要采用類似于高等數(shù)學(xué)中的延拓法，使其延拓為周期函數(shù)．7.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)定義7.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)取一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)(7.1.8)作為基本函數(shù)族，可以將周期函數(shù)展開(kāi)為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)(7.1.9)利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的正

6、交性，可以求出復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)(7.1.10)式中“*”代表復(fù)數(shù)的共軛上式(7.1.9)的物理意義為一個(gè)周期為2l的函數(shù)可以分解為頻率為，復(fù)振幅為的復(fù)簡(jiǎn)諧波的疊加．稱為譜點(diǎn)，所有譜點(diǎn)的集合稱為譜．對(duì)于周期函數(shù)而言，譜是離散的．盡管是實(shí)函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)，且滿足：或(7.1.11)7.2實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分上一節(jié)我們討論了周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，下面討論非周期函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)．7.2.1實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分定義7.2.1實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換式傅里葉積分傅里葉積分表示式設(shè)非周期函數(shù)為一個(gè)周期函數(shù)當(dāng)周期時(shí)的極限情形．這樣，的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式(7.2

7、.1)在時(shí)的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)．下面我們研究這一極限過(guò)程：設(shè)不連續(xù)的參量故（7.2.1）為（7.2.2）傅里葉系數(shù)為(7.2.3)代入到(7.2.2)，然后取的極限．對(duì)于系數(shù)，若有限，則而余弦部分為當(dāng)，不連續(xù)參變量變?yōu)檫B續(xù)參量，以符號(hào)代替．對(duì)的求和變?yōu)閷?duì)連續(xù)參量的積分，上式變?yōu)橥砜傻谜也糠秩袅睿?.2.4）式（7.2.4）稱為的（實(shí)數(shù)形式）傅里葉變換式．故（7.2.2）在時(shí)的極限形式變?yōu)椋ㄗ⒁獾剑?7.2.5)上式(7.2.5)右邊的積分稱為（實(shí)數(shù)形式）傅里葉積分．(7.2.5)式稱為非周期函數(shù)的（實(shí)數(shù)形式）傅里葉積分表示式．事實(shí)上