數學高考綜合能力題選講21

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1、數學高考綜合能力題選講21抽象函數型綜合問題100080北京中國人民大學附中梁麗平題型預測抽象函數型綜合問題，一般通過對函數性質的代數表述，綜合考查學生對于數學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數性質的代數推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關系的認識．可以說，這一類問題，是考查學生能力的較好途徑，因此，在近年的高考中，這一類題目有增多和分量加重的趨勢．范例選講例1．定義在R上的函數滿足：對任意實數，總有，且當時，．（1）試求的值；（2）判斷的單調性并證明你的結論；（3）設，若，試確定的取值范圍．（4）試舉出一個滿足條件的函數．講解：（1）在中，令．得

2、：．因為，所以，．（2）要判斷的單調性，可任取，且設．在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．為比較的大小，只需考慮的正負即可．在中，令，，則得．∵時，，∴當時，．又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．∴．∴函數在R上單調遞減．（3）首先利用的單調性，將有關函數值的不等式轉化為不含的式子．，，即．由，所以，直線與圓面無公共點．所以，．解得：．（4）如．點評：根據題意，將一般問題特殊化，也即選取適當的特值（如本題中令；以及等）是解決有關抽象函數問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數，則有助于問題的思考和解決．例2．已知定義在

3、R上的函數滿足：（1）值域為，且當時，；（2）對于定義域內任意的實數，均滿足：試回答下列問題：（Ⅰ）試求的值；（Ⅱ）判斷并證明函數的單調性；（Ⅲ）若函數存在反函數，求證：．講解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：．也即：．由于函數的值域為，所以，，所以．（Ⅱ）函數的單調性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（＊）這個問題實際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數的奇偶性，也即的關系．由于，所以，在中，令，得．所以，函數為奇函數．故（＊）式成立．所以，．任取，且，則，故且．所以，所以，函數在R上單調遞減．（Ⅲ）由于函數在R上單調遞減，所以，函數必存在反

4、函數，由原函數與反函數的關系可知：也為奇函數；在上單調遞減；且當時，．為了證明本題，需要考慮的關系式．在（＊）式的兩端，同時用作用，得：，令，則，則上式可改寫為：．不難驗證：對于任意的，上式都成立．（根據一一對應）．這樣，我們就得到了的關系式．這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法化簡求證式的左端．事實上，由于，所以，．所以，點評：一般來說，涉及函數奇偶性的問題，首先應該確定的值．高考真題1．（2001年全國高考題）設是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線對稱，對任意都有，且．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）證明：是周期函數；（Ⅲ）記，求．2．（

5、2002北京高考題）已知是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的都滿足：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性，并證明你的結論；（Ⅲ）若，求數列的前項的和．[答案與提示：1．（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）．2．（Ⅰ）；（Ⅱ）奇函數；（Ⅲ）．]