求函數(shù)極限的方法和技巧

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1、求函數(shù)極限的方法和技巧作者:黃文羊摘要:本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個比較全面的概括、綜合。關(guān)鍵詞：函數(shù)極限引言在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部內(nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運用方面,對讀者有所助益。主要內(nèi)容一、求函數(shù)極限的方法1、運用極限的定義例:用極限定義證明:證:由取則當時,就有由函數(shù)極限定義有:162、利用極限的四則運算性質(zhì)若(I)(II)(III)若B≠0則：（IV）（c為常數(shù)）上

2、述性質(zhì)對于例：求解:=3、約去零因式（此法適用于）例:求解:原式==16===4、通分法（適用于型）例:求解:原式===5、利用無窮小量性質(zhì)法（特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：（I）(II)(M為正整數(shù))則：例:求解:由而故原式=6、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。16（I）若：則(II)若:且f(x)≠0則例:求下列極限①②解:由故由故=7、等價無窮小代換法設(shè)都是同一極限過程中的無窮小量，且有：，存在，則也存在，且有=例:求極限解:=注：在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、

3、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個重要的極限。16但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求下列函數(shù)極限9、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限）。16例：求下列函數(shù)的極限（2）10、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型）特別地有：m、n、k、l為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限①、n②解:①令t=則當時,于是原式=②由于=16令：則===11、利用函數(shù)極限的存在性定理定理:設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)且有:則極限存在,且有例:求(a>1,n>0)解:當x≥1時

4、,存在唯一的正整數(shù)k,使k≤x≤k+1于是當n>0時有:及又當x時,k有及16=012、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：==A例：設(shè)=求及由13、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若16此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點：1、要注意條件，也就是說，在沒有化為時不可求導(dǎo)。2、應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面

5、的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。4、當不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。例：求下列函數(shù)的極限①②解：①令f(x)=,g(x)=l,由于但從而運用羅比塔法則兩次后得到16②由故此例屬于型，由羅比塔法則有：14、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式：1、2、3、4、5、6、上述展開式中的符號都有:例:求解:利用泰勒公式，當有16于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件：(I)f在

6、閉區(qū)間上連續(xù)(II)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使得此式變形可為:例:求解:令對它應(yīng)用中值定理得即:16連續(xù)從而有:16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若:(I)當時，有(II)當時有:①若則②若而則③若,,則分別考慮若為的s重根,即:也為的r重根,即:可得結(jié)論如下：例：求下列函數(shù)的極限16①②解:①分子，分母的最高次方相同，故=②必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。例：求解:二、多種方

7、法的綜合運用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧，使得計算大為簡化。16例:求[解法一]:=注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個重要極限法。[解法二]:=注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法。[解法三]:注:此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及羅比塔法則[解法四]:注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。16[解法五]:注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法。[解法六]：令注：此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。[解法

8、七]:注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個重要極限。此題還可以列出十多種解法，