線性方程組的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法.doc

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時間:2018-11-22

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1、西京學(xué)院數(shù)學(xué)軟件實驗任務(wù)書課程名稱數(shù)學(xué)軟件實驗班級數(shù)0901學(xué)號0912020119姓名王震實驗課題雅克比迭代、高斯—賽德爾迭代、超松弛迭代實驗?zāi)康氖煜ぱ趴吮鹊?、高斯—賽德爾迭代、超松弛迭代實驗要求運用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一種語言完成實驗內(nèi)容雅克比迭代法高斯—賽德爾迭代法、超松弛迭代法成績教師【實驗課題】雅克比迭代、高斯—賽德爾迭代、超松弛迭代【實驗?zāi)康摹繉W(xué)習(xí)和掌握線性代數(shù)方程組的雅克比迭代、高斯—賽德爾迭代、超松弛迭代法,并且能夠熟練運用這些迭代法對線性方程組進行求解?!緦嶒瀮?nèi)容】1、問

2、題重述:對于線性方程組,即:(1),其中,如何運用雅克比迭代、高斯—賽德爾迭代、超松弛迭代法對線性方程組進行求解。2、方法原理:2.1雅克比迭代迭代思想:首先通過構(gòu)造形如的等式,然后給定一個初值,再通過進行迭代。step1:對(1)相應(yīng)第行中的用其它元素表示為:即:Step2:進行迭代,,取它的判斷條件為小于一個確定的誤差值,跳出循環(huán)。其中,為循環(huán)次數(shù),則為所求的近視解。(參考程序)2.2、高斯—賽德爾迭代迭代思想:以雅克比迭代法為基礎(chǔ),假定每一次迭代得到的數(shù)據(jù)都優(yōu)越于,即中的每一個分量都優(yōu)越于中對應(yīng)的分量。由于在求解第個分量的過程中,前個分量已

3、經(jīng)求出,所以可以直接調(diào)用所求出來的前個分量??紤]雅克比迭代:,即:所以,當(dāng)可逆時,由于在求解第個分量的過程中,前個分量已經(jīng)求出,將上式改寫為:即:所以,設(shè),,上式改寫為:,迭代算法:得出計算步驟:,由于再代入數(shù)據(jù)時盡可能采用最新數(shù)值,因此,高斯—賽德爾迭代法的收斂速度大于雅克比迭代法。2.3、逐次超松弛迭代法(SOR)逐次超松弛迭代法是對高斯—賽德爾迭代的一種改進,在高斯—賽德爾迭代的基礎(chǔ)上加入松弛因子,使得與的誤差由控制。由高斯—賽德爾迭代公式:得出SOR迭代算法:,其中,為松弛因子。迭代的控制條件為:,得出SOR的計算公式為:,則存在,令,則

4、,2.4、對稱超松弛迭代法對稱超松弛迭代法是對逐次超松弛迭代法的改進,在逐次超松弛迭代法的基礎(chǔ)上,首先對線性方程組按照順序方式依次求解,然后在此基礎(chǔ)上對線性方程組逆序求解,得出SSOR迭代法。求解步驟:Step1順序求解得出:Step2逆序求解由得出得出SSOR公式:【實驗總結(jié)】由以上實驗得出SSOR在求解線性方程時最優(yōu)。當(dāng)時,逐次超松弛迭代法(SOR)等價于高斯賽德爾迭代法。(參考程序)【程序】%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%functionmainte

5、st1(A,b)N=input('請輸入最大迭代次數(shù)N(足夠大):');esp=input('請輸入近視解的誤差限:');X0=input('請輸入初始值:');ifany(diag(A))==0error('系數(shù)矩陣錯誤,迭代終止!')endD=diag(diag(A));U=-triu(A);L=-tril(A);%%%%%%%%%%%%%%%jacobi%%%%%%fJ=inv(D)*b;BJ=inv(D)*(L+U);PJ=max(abs(eig(BJ)));fprintf('用雅克比求解的譜半徑為:%2d',PJ)%%%%%%%%%

6、%%%%%%GS%%%%%%fG=inv(D-L)*b;BG=inv(D-L)*U;PG=max(abs(eig(BG)));fprintf('用GS求解的譜半徑為:%2d',PG)%%%%%%%%%%%%%SOR%%%%%%%%%%omega=1;fS=omega*inv(D-omega*L)*b;BS=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U);PS=max(abs(eig(BS)));fprintf('用SOR求解的譜半徑為:%2d',PS)%%%%%%%%%%%%SSOR%%%%%%%%%%%%%%%

7、Lw=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U);Uw=inv(D-omega*U)*((1-omega)*D+omega*L);Sw=Uw*Lw;fw=omega*(2-omega)*inv(D-omega*inv(D)*U)*inv(D-omega*inv(D)*L)*inv(D)*b;PSS=max(abs(eig(Sw)));fprintf('用SSOR求解的譜半徑為:%2d',PSS)%%%%%%%%%%%%%%%Jacobi%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fpri

8、ntf('Jacobi迭代法')t=1;Y0=X0;Y1=BJ*Y0+fJ;fprintf('第%2d次迭代得:',t)disp(Y

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