邊界元與有限元

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1、邊界元與有限元邊界元法boundaryelementmethod定義：將力學中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題，再通過邊界的離散化與待定函數(shù)的分片插值求解的數(shù)值方法。所屬學科：水利科技(一級學科)；工程力學、工程結(jié)構(gòu)、建筑材料(二級學科)；工程力學（水利）(三級學科)邊界元法（boundaryelementmethod）是一種繼有限元法之后發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法，與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同，邊界元法是只在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件。所以邊界元法與有限元相比，具有單元個數(shù)少,數(shù)據(jù)準

2、備簡單等優(yōu)點.但用邊界元法解非線性問題時，遇到同非線性項相對應(yīng)的區(qū)域積分，這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性，使求解遇到困難。　簡介　　邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法。又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數(shù)，而顯著降低了自由度數(shù)，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程

3、的核函數(shù)，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點，通常具有較高的精度。特別是對于邊界變量變化梯度較大的問題，如應(yīng)力集中問題，或邊界變量出現(xiàn)奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。對一般的非線性問題，由于在方程中會出現(xiàn)域內(nèi)積分項，

4、從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點。邊界元法的基礎(chǔ)　　邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應(yīng)的邊界積分方程，再結(jié)合邊界的剖分而得到的離散算式。　　Jaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo[3]于1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse[4]于1969年將此法推廣到三維彈性力學問題。1978年，Brebbia用加權(quán)余量法推導出了邊界積分方程，他指出加權(quán)余量法是最普遍的數(shù)值方法，如果以Kelvin解作為加權(quán)函數(shù)，從加權(quán)余量法中導出的將是邊界積分方程——邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理

5、論體系，標志著邊界元法進入系統(tǒng)性研究時期。邊界元法的發(fā)展　　經(jīng)過近40年的研究和發(fā)展，邊界元法已經(jīng)成為一種精確高效的工程數(shù)值分析方法。在數(shù)學方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統(tǒng)一的數(shù)學分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎(chǔ)。在方法與應(yīng)用方面，現(xiàn)在，邊界元法已應(yīng)用到工程和科學的很多領(lǐng)域，對線性問題，邊界元法的應(yīng)用已經(jīng)規(guī)范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。在軟件應(yīng)用方面，邊界元法應(yīng)用軟件已由原來的解決單一問題的計算程序向具有前后處理功能、可以解決多種問題的邊界元法

6、程序包發(fā)展。　　我國約在1978年開始進行邊界元法的研究，目前，我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發(fā)展了相應(yīng)的計算軟件，有些已經(jīng)應(yīng)用于工程實際問題，并收到了良好的效果。??有限單元法有限單元法，是一種有效解決數(shù)學問題的解題方法。其基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函

7、數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬。簡介　　在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有

8、配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高