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《踏花歸來馬蹄香---2017浙江卷第21題別解賞析與思考》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、踏花歸來馬蹄香---2017浙江卷第21題“別解”賞析與思考●李承法（浙江省開化中學(xué) 324300） 手機15068959136郵箱lichengfa19@163.com2017浙江卷第21題與拋物線有關(guān)的最(極)值問題，這道題若是不加以思考，直接計算，則是計算量大，容易出錯，而若是將思考量增大，則會減少計算，注重將幾何問題本質(zhì)提煉，并與相關(guān)知識的聯(lián)系(如平面幾何，向量、函數(shù)、方程、不等式等)合理轉(zhuǎn)化，就會有精彩的解答．圖12017浙江卷第21題：如圖，已知拋物線，點，，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為．（I）求直線斜率的取值范圍；（II）求的最大值．解：（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜
2、率為，則=，因為，所以直線AP斜率的取值范圍是．以下第（Ⅰ）小題由于解法固定且簡單，將不再另外求解．以下為第（II）小題兩種視角------幾何視角和代數(shù)視角下各種解法探析．1幾何視角下解法探析圖2解法一：設(shè)的中點為，則，∵，∴點在以為直徑的圓周上如圖1，且．連結(jié)并延長交圓于，則，其中為圓的半徑．又，故．令，則，令得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減．因此，當時，取得最大值．所以·的最大值為．評注：此解法運用了平面幾何中圓的相關(guān)性質(zhì)：直徑所對的圓周角為直角；圓中相交弦定理等知識，優(yōu)化思維，簡化計算，最后同前面解法一樣構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出問題的最值．圖3變式：將條件“過點
3、作直線的垂線，垂足為”改為：“過點作直線與直線相交于點，且”，其它條件不變，求·的最大值．簡解：同前一樣分析知，點在的外接圓⊙上，且滿足，則，此時⊙的半徑，，以下解法同前，（略去）．解法二：設(shè)，，，∵，∴＝＝，當且僅當時等號成立．∴·的最大值為．評注：此法利用向量的數(shù)量積的幾何意義的逆用，即恰好等于的模與在方向上的投影的積，即＝；另外，由此得到了關(guān)于的四次函數(shù)式后，又運用常見的配方法，解決了高次函數(shù)最值問題．此解法新穎，思維深刻，幾何背景搭臺，代數(shù)唱戲，實有創(chuàng)新．2代數(shù)視角下的解析解法三：考慮參數(shù)方程．設(shè)，直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵，∴點在以為直徑的圓上，而以
4、為直徑的圓方程為：，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程得，∴·，設(shè)，．以下利用導(dǎo)數(shù)求最大值的過程則同上，故略去．評注：此法最為簡單，線段長度之積，自然聯(lián)想?yún)?shù)方程使高考中解答這道題會更簡捷利索些．解法四：（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點的橫坐標是，因為由（Ⅰ），，所以，==，==，所以·，令，因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當=時，
5、PA
6、·
7、PQ
8、取得最大值．評注：此解法是充分運用坐標，方程思想，但解法顯得繁，計算量大，容易出現(xiàn)差錯．解法五：設(shè)，，直線AP的斜率為，則=，設(shè)直線的方程為，即，∵，若①，，此時，∴；若②，直線的斜率，直線的方程為，即，將直線與直線方程聯(lián)立，
9、解得點的橫坐標是，∴，接下來可用導(dǎo)數(shù)工具來最大值．設(shè)，則，，令得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減．因此，當時，取得最大值．所以·的最大值為．評注：此解法運用坐標思想，利用了直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是常用方法之一。綜上，解析幾何問題的本質(zhì)是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)，圖形問題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì)。函數(shù)建模能為解答最值試題增添了一抹亮色．解析幾何的關(guān)鍵在于找到最好的方法解決問題，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，在平面幾何得出的結(jié)論就要大膽應(yīng)用，就能找到簡潔的方法．解析幾何的優(yōu)點在于數(shù)形結(jié)合而又動態(tài)的處理問題，其解題思路有很強的程序性
10、，但是，盲目操作往往會帶來煩瑣的討論或繁雜的計算．
