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《踏花歸來(lái)馬蹄香---2017浙江卷第21題別解賞析與思考》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、踏花歸來(lái)馬蹄香---2017浙江卷第21題“別解”賞析與思考●李承法（浙江省開(kāi)化中學(xué) 324300） 手機(jī)15068959136郵箱lichengfa19@163.com2017浙江卷第21題與拋物線有關(guān)的最(極)值問(wèn)題，這道題若是不加以思考，直接計(jì)算，則是計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，而若是將思考量增大，則會(huì)減少計(jì)算，注重將幾何問(wèn)題本質(zhì)提煉，并與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系(如平面幾何，向量、函數(shù)、方程、不等式等)合理轉(zhuǎn)化，就會(huì)有精彩的解答．圖12017浙江卷第21題：如圖，已知拋物線，點(diǎn)，，拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．（I）求直線斜率的取值范圍；（II）求的最大值．解：（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜
2、率為，則=，因?yàn)椋灾本€AP斜率的取值范圍是．以下第（Ⅰ）小題由于解法固定且簡(jiǎn)單，將不再另外求解．以下為第（II）小題兩種視角------幾何視角和代數(shù)視角下各種解法探析．1幾何視角下解法探析圖2解法一：設(shè)的中點(diǎn)為，則，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓周上如圖1，且．連結(jié)并延長(zhǎng)交圓于，則，其中為圓的半徑．又，故．令，則，令得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值．所以·的最大值為．評(píng)注：此解法運(yùn)用了平面幾何中圓的相關(guān)性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角為直角；圓中相交弦定理等知識(shí)，優(yōu)化思維，簡(jiǎn)化計(jì)算，最后同前面解法一樣構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出問(wèn)題的最值．圖3變式：將條件“過(guò)點(diǎn)
3、作直線的垂線，垂足為”改為：“過(guò)點(diǎn)作直線與直線相交于點(diǎn)，且”，其它條件不變，求·的最大值．簡(jiǎn)解：同前一樣分析知，點(diǎn)在的外接圓⊙上，且滿足，則，此時(shí)⊙的半徑，，以下解法同前，（略去）．解法二：設(shè)，，，∵，∴＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴·的最大值為．評(píng)注：此法利用向量的數(shù)量積的幾何意義的逆用，即恰好等于的模與在方向上的投影的積，即＝；另外，由此得到了關(guān)于的四次函數(shù)式后，又運(yùn)用常見(jiàn)的配方法，解決了高次函數(shù)最值問(wèn)題．此解法新穎，思維深刻，幾何背景搭臺(tái)，代數(shù)唱戲，實(shí)有創(chuàng)新．2代數(shù)視角下的解析解法三：考慮參數(shù)方程．設(shè)，直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，而以
4、為直徑的圓方程為：，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程得，∴·，設(shè)，．以下利用導(dǎo)數(shù)求最大值的過(guò)程則同上，故略去．評(píng)注：此法最為簡(jiǎn)單，線段長(zhǎng)度之積，自然聯(lián)想?yún)?shù)方程使高考中解答這道題會(huì)更簡(jiǎn)捷利索些．解法四：（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，因?yàn)橛桑á瘢?，所以?=，==，所以·，令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)=時(shí)，
5、PA
6、·
7、PQ
8、取得最大值．評(píng)注：此解法是充分運(yùn)用坐標(biāo)，方程思想，但解法顯得繁，計(jì)算量大，容易出現(xiàn)差錯(cuò)．解法五：設(shè)，，直線AP的斜率為，則=，設(shè)直線的方程為，即，∵，若①，，此時(shí)，∴；若②，直線的斜率，直線的方程為，即，將直線與直線方程聯(lián)立，
9、解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，∴，接下來(lái)可用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)最大值．設(shè)，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值．所以·的最大值為．評(píng)注：此解法運(yùn)用坐標(biāo)思想，利用了直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是常用方法之一。綜上，解析幾何問(wèn)題的本質(zhì)是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)，圖形問(wèn)題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì)。函數(shù)建模能為解答最值試題增添了一抹亮色．解析幾何的關(guān)鍵在于找到最好的方法解決問(wèn)題，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，在平面幾何得出的結(jié)論就要大膽應(yīng)用，就能找到簡(jiǎn)潔的方法．解析幾何的優(yōu)點(diǎn)在于數(shù)形結(jié)合而又動(dòng)態(tài)的處理問(wèn)題，其解題思路有很強(qiáng)的程序性
10、，但是，盲目操作往往會(huì)帶來(lái)煩瑣的討論或繁雜的計(jì)算．
