系統(tǒng)的穩(wěn)定性和判定[羅斯陣列]

《系統(tǒng)的穩(wěn)定性和判定[羅斯陣列]》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、專業(yè)整理分享6-6?系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定所有工程實際系統(tǒng)的工作都應該具有穩(wěn)定性，所以對系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究十分重要。本節(jié)將介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義及其判定方法。一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義若系統(tǒng)對有界激勵f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應也是有界的，即當時，若有?(式中和均為有界的正實常數(shù))，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有穩(wěn)定性研究不同問題時，“穩(wěn)定”的定義不盡相同。這里的定義是“有界輸入、有界輸出”意義下的穩(wěn)定。，否則即為不穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。可以證明，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要與充分條件，在時域中是系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)絕對可積，即?????????＜∞?????????????????????

2、?（6-36)證明??設激勵f(t)為有界，即?????????式中，為有界的正實常數(shù)。又因有???????故有????????????????????????(6-37)由此式看出，若滿足???????????＜∞則一定有?????????????????????????????證畢完美DOC格式專業(yè)整理分享　即也一定有界。式中為有界的正實常數(shù)。由式(6-36)還可看出，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要條件是????????????????????????????????????????????????????(6-38)式(6-36)和式(6-38)都說明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)本身

3、的特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與系統(tǒng)的激勵和初始狀態(tài)均無關(guān)。若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，則式(6-36)和式(6-38)可寫為????????????＜∞?????????????????????????????????????(6-39)?????????????????????????????????????????????????????(6-40)二、系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以在時域中進行，也可以在s域中進行。在時域中就是按式(6-36)和式(6-38)判斷，已如上所述。下面研究如何從s域中判斷。1.從H(s)的極點［即D(s)=0的根］分布來判定若系統(tǒng)函數(shù)H

4、(s)的所有極點均位于s平面的左半開平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若H(s)在jω軸上有單階極點分布，而其余的極點都位于s平面的左半開平面，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。若H(s)的極點中至少有一個極點位于s平面的右半開平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若在jω軸上有重階極點分布，則系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。2.用羅斯準則判定用上述方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，必須先要求出H(s)的極點值。但當H(s)分母多項式D(s)的冪次較高時，此時要具體求得H(s)的極點就困難了。所以必須尋求另外的方法。其實，在判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，并不要求知道H(s)極點的具體數(shù)值，而是只需要知道H(s)極點的分布區(qū)域就可以了。利用羅斯準則

5、即可解決此問題。羅斯判定準則的內(nèi)容如下：完美DOC格式專業(yè)整理分享多項式D(s)的各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)；多項式中無缺項(即s的冪從n到0，一項也不缺)。這是系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件。若多項式D(s)各項的系數(shù)均為正實常數(shù)，則對于二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的；但若系統(tǒng)的階數(shù)n＞2時，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還須排出如下的羅斯陣列。設????????則羅斯陣列的排列規(guī)則如下(共有n+1行)：陣列中第1、第2行各元素的意義不言而喻，第3行及以后各行的元素按以下各式計算：??????????????????????????????????????????????????????????????????

6、???????如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后一行中將只留有一個不等于零的數(shù)字。若所排出的數(shù)字陣列中第一列的(n+1)個數(shù)字全部是正號，則H(s)的極點即全部位于s平面的左半開平面，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；若第一列(n+1)個數(shù)字的符號不完全相同，則符號改變的次數(shù)即等于在s平面右半開平面上出現(xiàn)的H(s)極點的個數(shù)，因而系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。在排列羅斯陣列時，有時會出現(xiàn)如下的兩種特殊情況：完美DOC格式專業(yè)整理分享(1)?陣列的第一列中出現(xiàn)數(shù)字為零的元素。此時可用一個無窮小量ε(認為ε是正或負均可)來代替該零元素，這不影響所得結(jié)論的正確性。(2)?陣列的某一行元素全部為零。當D

7、(s)=0的根中出現(xiàn)有共軛虛根時，就會出現(xiàn)此種情況。此時可利用前一行的數(shù)字構(gòu)成一個輔助的s多項式P(s)，然后將P(s)對s求導一次，再用該導數(shù)的系數(shù)組成新的一行，來代替全為零元素的行即可；而輔助多項式P(s)=0的根就是H(s)極點的一部分。例6-22?已知H(s)的分母D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因D(s)中無缺項且各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進一步排出羅斯陣列如下：可見陣列中的第一列數(shù)字符號無變化，故該H(s)所描述的系