倒格子與布里淵區(qū)

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1、§1.6倒格子與布里淵區(qū)一.倒格子（先在B格子和基矢坐標(biāo)系中討論)1.定義：正格子基矢a1a2a3倒格子基矢b1b2b32πi=jai·bj=0i≠j即i≠jai⊥bj例如:b1在a2×a3所確定的方向上（或反方向上）b1＝c(a2×a3)c為待定系數(shù)則，a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ(A)其中Ω為正格子初基原胞體積，同時(shí)，由定義a1·b1＝2π（B）比較（A）,（B）式得b1＝（a2×a3）類似可得b2＝（a3×a1）b3＝(a1×a2)22有了倒格子基矢，可構(gòu)成倒格矢。Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3倒

2、格子周期性其中h1h2h3為任意整數(shù)，由倒格矢Gh確定的空間叫倒格子空間。由上定義可知，Gh與波矢K有相同的量鋼。屬同一“空間”Gh是K空間的特定矢量。倒格子初基原胞“體積”Ω※＝b1·(b2×b3)注意：正倒格矢量綱不同，屬不同的空間，可有方向上的關(guān)系，不能直接比較大小。#思考題：對(duì)二維格子，已知正格基矢a1、a2,如何確定b1、b2的方向？強(qiáng)調(diào)：這里定義的倒格矢，所對(duì)應(yīng)的正格矢是在基矢坐標(biāo)系中的。2．倒格子的重要性質(zhì)（正倒格子間的關(guān)系）(1).若h1、h2、h3為互質(zhì)整數(shù)，則Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3為該方

3、向的最短倒格矢。(2).正、倒格子互為倒格子。(3).Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3垂直于晶面族（h1、h2、h3）（兩個(gè)h1、h2、h3分別相等）。證：晶面族（h1、h2、h3）中的一個(gè)晶面在a1、a2、a3上的截距為x,y,z,由面指數(shù)的定義:（h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z)即h1x＝h2y＝h3z＝m（m為公因子）（A）在該晶面上作二非平行矢量（如圖）u＝xa1－ya2v＝y(tǒng)a2－za3則u·Gh＝(xa1－ya2)·(h1b1＋h2b2＋h3b3)由倒基矢定義＝2π（h1x－h(huán)2y）由（A

4、）式＝2π(m－m)＝0即U⊥Gh同理可證υ⊥GhGh與（h1、h2、h3）面內(nèi)二條非平行直線均垂直,所以Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。(4)某方向最短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3之模和晶面族（h1、h2、h3）的面間距dh成反比。（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的標(biāo)積是2π的整數(shù)倍Gh·Rn＝2πm問題：若Gh，Rn分別為正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一個(gè)為正格矢，則另一個(gè)必為倒格矢嗎？證：Gnx晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)距離為mdh的晶面方程為：其中x為晶面上的任意位矢，并

5、不一定是格矢。(6).正、倒格子初基元胞體積間滿足Ω·Ω※＝（2π）3由性質(zhì)（4）所以，故上反定理不成立。(7)晶體的傅立葉變換設(shè)函數(shù)V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里葉級(jí)數(shù)展開：n是整數(shù)V(Gn)是V(x)在倒空間的“映像和表述”，它們之間滿足傅立葉變換的關(guān)系?！嗨钥梢哉f，一個(gè)具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述與在倒格子中的表述之間滿足傅立葉變換的關(guān)系。二．布里淵區(qū)（B.Z）GT010定義：任選一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，從原點(diǎn)向它的第一、第二、第三……近鄰倒格點(diǎn)畫出倒格矢，并作這些倒格矢的中垂面，這些中垂面繞原點(diǎn)

6、所圍成的多面體稱第一B.Z，它即為倒空間的W－S元胞，其“體積”為Ω※＝b1·(b2×b3)說明并不是原點(diǎn)僅到最近鄰的倒格點(diǎn)的倒格矢的中垂面所圍成的區(qū)域叫第一B.Z;第一B.Z又可表述為從原點(diǎn)出發(fā)，不與任何中垂面相交，所能達(dá)到的倒空間區(qū)域。第nB.Z則是從原點(diǎn)出發(fā)跨過（n－1）個(gè)倒格矢中垂面所達(dá)到的區(qū)域；各級(jí)B.Z體積相等。二維正方晶格的布里淵區(qū)二維長方晶格的布里淵區(qū)二維六方晶格的十個(gè)布里淵區(qū)面心立方晶格的第一布里淵區(qū)體心立方晶格的第一布里淵區(qū)?布里淵區(qū)界面方程GhK由晶面方程：當(dāng)x換為倒格矢中垂面上的任意波矢K時(shí)，得

7、到布里淵區(qū)界面方程作業(yè)P636.7