競賽數學數論專題

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1、數論數論素有“數學皇后”的美稱。由于其形式簡單，意義明確，所用知識不多而又富于技巧性，千姿百態(tài)，靈活多樣。有人曾說：“用以發(fā)現數學天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了?！币虼嗽诶砟畹膰鴥韧鈹祵W競賽中，幾乎都離不開數論問題，使之成為競賽數學的一大重要內容。1.基本內容競賽數學中的數論問題主要有：（1）整除性問題；（2）數性的判斷（如奇偶性、互質性、質數、合數、完全平方數等）；（3）余數問題；（4）整數的分解與分拆；（5）不定方程問題；（6）與高斯函數有關的問題。有關的基本知識：關于奇數和偶數有如下性質：奇數+奇數=偶數；奇數+偶數=奇數；偶數+偶數=偶數.兩個

2、數之和是奇（偶）數，則這兩個數的奇偶性相反（同）.若干個整數之和為奇數，則這些數中必有奇數，且奇數的個數為奇數個；若干個整數之和為偶數，則這些數中若有奇數，奇數的個數必為偶數個.奇數奇數=奇數；奇數偶數=偶數；偶數偶數=偶數.若干個整數之積為奇數，則這些數必為奇數；若干個整數之積為偶數，則這些數中至少有一個偶數.若是整數，則與有相同的奇偶性；若、是整數，則與奇偶性相同。關于整數的整除性：設是整數，則；若，則；若，則對任意整數，有.若在等式中，除某一項外，其余各項都能被整除，則這一項也能被整除.若，且，則.若，且，則.設是素數，若，則或.關于同余：若，則.分別被除，余

3、數相同.同余具有反身性:、對稱性:若，則、傳遞性：若，則.2.方法評析數論問題綜合性強，以極少的知識就可生出無窮的變化。因此數論問題的方法多樣，技巧性高，富于創(chuàng)造性和靈活性。在競賽數學中，解決數論問題的常用方法有因式分解法、估值法、調整法、構造法、反證法、奇偶分析法等等。2.1因式（數）分解例1證明無窮數列10001，100010001，……中沒有素數。證明：設，則當為偶數，設，所以為合數。當為奇數，設，所以為合數。評析：對分奇偶，分情況討論，問題變得清晰易證。同時注意，若為奇數時，可分解因式。例2證明對任意整數，不是素數。證明：當為偶數時，為偶數，所以為合數；當為

4、奇數，設，則所以為合數。評析：對適時地進行奇偶性討論，不失為一種證明思路。同時應注意，可作因式分解。例3設正整數滿足。證明：不是素數。證明：由于，則設，其中，則故所以為合數。評析：此題中采用方法可擴展如下：若，不妨設,則，且由于，所以，即所以，故。同理可證，所以同理可得例4證明：若正整數滿足，則和都是完全平方數。證明：因，即故只需證和互質。設,即證則由于，所以，又，則。所以，故得證。故和互質，所以和都是完全平方數。評析：有時，適當的因式分解可以使問題簡化，以證得結論。例5一個正整數，加上100為一個完全平方數，若加上168則為另一個完全平方數，求這個數。解：設這個數

5、為，則其中（注：限定正的可減少討論）。故，從而與則等于把拆開的因數1、2、4、17、34、68.這樣就有六種情形。又由于，且與同奇偶性，故所以。則。評析：此題利用平方差公式，再考慮因數分解，便于討論以確定某些式子的值，最終求得解。例6求方程的全部整數解。解：對原方程進行變形、因式分解左邊四個括號內奇偶性相同，而為偶數，故括號內每個都為偶數，則應出現，矛盾。所以原方程無整數解。評析：將所有字母項放在一起，進行因式分解，再與另一側數字項對比討論，推出矛盾。例7證明：兩連續(xù)正整數之積不能是完全平方數，也不能是完全立方數。證明：若有兩連續(xù)正整數之積為完全平方數，設（），則，

6、則與均為完全平方數。故存在正整數使得，從而這與矛盾。所以兩連續(xù)正整數不能是完全平方數。若有兩連續(xù)正整數之積為完全立方數，設（），則，則與均為完全立方數。故存在正整數使得，從而這與矛盾。所以兩連續(xù)正整數不能是完全平方數。評析：此題運用因式分解和反證法，分析論證推出矛盾。2.2估值法例8證明方程沒有的整數解。證明：對原方程進行變形、因式分解設，若，設為的素因數，則又，故，從而，所以，這與為素因素矛盾。與均為完全立方數。設，則由得，又，則當時，則這與矛盾。故沒有非零整數解。當時，則這與矛盾。故沒有非零整數解。評析：因式分解與互素性質相結合，分情況討論，推出矛盾，題目得證。

7、例9在兩個相鄰的完全平方數與之間任取若干個不同的整數，證明它們中兩兩乘積互不相同。證明：只需證明若則若，則設（見例3），則，即，矛盾故在兩個相鄰的完全平方數與之間任取若干個不同的整數，它們中兩兩乘積互不相同。評析：與例三的思想方法大同小異，因為它們都利用的結論。例10求不定方程的全部正整數解。解：當時，無解；當時，，有；當是，為偶數，必為奇數。當時，，當時，當時，，故，則而所以，則，故，與矛盾，則無解。綜上，不定方程的正整數解為（2，1）、（3，1）、（5，2）。評析：通過分析估計歸納，對分類討論，一一得出結果。