概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的應(yīng)用

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1、概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的應(yīng)用概率論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。一方面，他有豐富的數(shù)學(xué)理論，與其他數(shù)學(xué)學(xué)科有深入的相互滲透。另一方面，它與自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)以至人文科學(xué)有廣泛的交叉。很多問題都可以歸結(jié)為概率模型，應(yīng)用概率論和隨機(jī)過程的理論和方法加以研究．并且這些問題也向概率論提出了新的重要研究課題。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)便是這樣一個(gè)新的概率論分支。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)根據(jù)對(duì)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)及微觀粒子相互作用的認(rèn)識(shí)，用概率統(tǒng)計(jì)的方法，對(duì)由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)及宏觀規(guī)律作出微觀解釋的理論物理學(xué)分支。下面我們分別以麥克斯韋氣體分

2、子速率分布律、麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布、理想氣體的溫度公式和壓強(qiáng)公式為例，說明概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的應(yīng)用。1.麥克斯韋氣體分子速率分布律麥克斯韋用概率論證明了在平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫做麥克斯韋速度分布率，若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布率。能量為的分子概率密度是,(1-1)其中是歸一化常數(shù)，而分子能量是.(1-2)由歸一化條件得，相體積元=.不失一般性，設(shè)氣體體積為單位體積，則積分.7利用積分公式,得.于是有.定義：,(1-3)則有.(1-4)所以，函數(shù)是平衡態(tài)理想氣體中分子按速率分

3、布的概率密度函數(shù)，叫做麥克斯韋氣體分子速率分布律(Maxwelldistributionlawofspeedofgasmolecules),表示速率附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占?xì)怏w總分子數(shù)的比例.例如，若氣體總分子數(shù)為，則速率附近速率間隔內(nèi)的分子數(shù)是.為簡便起見，可將函數(shù)寫成,(1-5)其中，，其函數(shù)曲線如圖1所示.OO圖1圖2除滿足歸一化條件外，函數(shù)還具有以下特點(diǎn)：(1),；7(2)令=0,得最概然速率：.(1-6)即是函數(shù)的最大值，如圖1所示.式中R和μ分別為普適常量和分子的摩爾質(zhì)量。最概然速率表示對(duì)所有的相同速率區(qū)間而言，在

4、含有速率的那個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子占總分子數(shù)的百分比最大。(3)由(1-3)和(1-6)式可知，當(dāng)氣體溫度上升時(shí)，或用分子質(zhì)量較小的氣體代替分子質(zhì)量較大的氣體做實(shí)驗(yàn)，的函數(shù)曲線將右移并變得平緩，如圖2所示。2.氣體分子的平均速率我們知道，氣體處于平衡態(tài)，其分子的速率有大有小，服從Maxwell氣體分子速率分布律.所以，氣體分子的平均速率是.將代入上式做分部積分，得=＝＝===,即理想氣體速率從0到∞整個(gè)區(qū)間內(nèi)的算術(shù)平均速率為==.（2-1）3.物理統(tǒng)計(jì)規(guī)律之麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布（M-B分布）麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布是研究近獨(dú)立經(jīng)典

5、粒子按能量的最概然分布。設(shè)有一個(gè)由個(gè)相同粒子組成的系統(tǒng)，其中每個(gè)粒子可以被看成一個(gè)子系統(tǒng).7如果粒子之間的相互作用足夠弱，則可以忽略它們之間的相互作用能，這樣的系統(tǒng)就叫做近獨(dú)立粒子系統(tǒng)(nearindependentparticlesystem)，而系統(tǒng)的能量等于每個(gè)粒子的能量的和：.(3-1)在由相同粒子組成的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)中，每個(gè)粒子具有相同的子相空間，系統(tǒng)中的個(gè)粒子可以同時(shí)用一個(gè)子相空間來描述。這樣，在這個(gè)子相空間中就同時(shí)有個(gè)相點(diǎn)，個(gè)相點(diǎn)的一種分布表示系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài).系統(tǒng)有多少可能的微觀態(tài)，就有多少種分布方式。為了計(jì)算系統(tǒng)

6、一個(gè)宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目，把子相空間中個(gè)相點(diǎn)可能出現(xiàn)的區(qū)域劃分為個(gè)微小區(qū)域：,(3-2)，劃分的原則是同在一個(gè)微小區(qū)域內(nèi)的粒子具有近似相等的能量，記作,一個(gè)微小區(qū)域叫做一個(gè)相格(phasecell).假設(shè)系統(tǒng)處于某個(gè)宏觀態(tài)時(shí)，相格內(nèi)有個(gè)粒子，即粒子數(shù)按相格的分布是=().顯而易見，粒子數(shù)按相格的分布應(yīng)滿足下面的總粒子數(shù)和總能量條件：,.(3-3)設(shè)相格內(nèi)有個(gè)可供粒子占據(jù)的態(tài)()，即有個(gè)相點(diǎn).由于子相空間中的相點(diǎn)是均勻分布的，相格內(nèi)每個(gè)粒子態(tài)占有的相體積=是一個(gè)常數(shù).經(jīng)典理論對(duì)粒子占據(jù)微觀態(tài)沒有限制，因此，相格內(nèi)每個(gè)粒子可占據(jù)的微

7、觀態(tài)數(shù)都是個(gè),而個(gè)粒子占據(jù)個(gè)微觀態(tài)的方式有種.這樣，當(dāng)粒子數(shù)按相格的分布給定時(shí)，全部粒子占據(jù)微觀態(tài)的方式共有種.注意，現(xiàn)在只是給定了各個(gè)相格中的粒子數(shù)，還需要考慮是哪些粒子占據(jù)了哪些微觀態(tài).7經(jīng)典理論為粒子是可以分辨的，因此，在給定了各個(gè)相格中的粒子數(shù)的條件下，粒子的組合數(shù)是.上式是這樣得到的：若不管粒子在哪個(gè)相格，全部粒子的排列數(shù)是扣除各個(gè)相格內(nèi)粒子的排列數(shù)，就得到上式.所以，當(dāng)系統(tǒng)處于某個(gè)宏觀態(tài)，即當(dāng)粒子數(shù)按相格的分布給定時(shí)，該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目是.(3-4)(3-4)式表明，宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目是粒子數(shù)按相格的分布的函

8、數(shù)，記作.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本假設(shè)是：孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等.因此，粒子數(shù)按相格的最概然分布就是微觀態(tài)數(shù)最大的分布.為求得最概然分布，對(duì)(3-4)取對(duì)數(shù)：.為取極大值，令=0.(3-5)對(duì)斯特令公式(Stirlingformula)取對(duì)數(shù)：