光波的數(shù)學(xué)表述及疊加原2

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1、第二章光波的數(shù)學(xué)表述及疊加原理§2.1光波及其數(shù)學(xué)表述，單色平面波一、簡諧波(simpleharmonicwaves)的表達(dá)式λ為波動(dòng)的波長，即具有同一振動(dòng)相位的空間兩相鄰點(diǎn)之間的距離。即2π長度內(nèi)所含的波長數(shù)目。ν為頻率，即單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。角頻率波動(dòng)的傳播速度角波數(shù)yt=0zλAy0=Acosαyz=0tTAy0=Acosα初相位為α、周期為T、波長為λ的簡諧波對(duì)于機(jī)械波，y表示位移；對(duì)于電磁波，y表示電場強(qiáng)度E或磁感應(yīng)強(qiáng)度B；它們都隨時(shí)間和空間連續(xù)地作周期性變化，波的強(qiáng)度正比于A2。真空中的Maxwell方程組：對(duì)于E，微分方程為二、光波

2、的數(shù)學(xué)表述單色平面波設(shè)波長為λ，傳播方向?yàn)閦，則上式的解為：定義一矢量k，其大小等于k，方向?yàn)椴ǖ膫鞑シ较颍瑒t可推廣到任意方向傳播的波。是空間任一點(diǎn)的位置矢量“單色”指波只有單一頻率ω；“平面”指在k·r=常量的空間各點(diǎn)所組成的平面上的相位都相等，即等相面（波面）為一平面2.相位差與距離之間的關(guān)系為1.單色平面波在空間某點(diǎn)r處，隨著時(shí)間的推移，振動(dòng)的相位將發(fā)生變化；在某一時(shí)刻t，在傳播方向上的不同點(diǎn)之間也存在著相位的差異。這是由于兩點(diǎn)的距離所引起的相位差。E0-E0E0E0-E0E0E0E0-E0-E0波峰波谷kk單色平面波3.用指數(shù)復(fù)函數(shù)來表示簡

3、諧波：復(fù)振幅(complexamplitude)：相位因子：用復(fù)函數(shù)表示波動(dòng)，在運(yùn)算中帶來方便，只有復(fù)函數(shù)中E的實(shí)數(shù)部分才代表真正的物理量。代入將麥克斯韋方程組：可得：代入可得：k方向上的單位矢量E、B、k這三矢量相互垂直，構(gòu)成右手螺旋定則，E=cB。E和B都與傳播方向k垂直，故光波是橫波。zEyBx這是一個(gè)沿z軸傳播的單色平面波，電矢量E在平面xoz內(nèi)振蕩，而磁矢量B則在平面yoz內(nèi)振蕩。光矢量E不是對(duì)稱分布而是有一定取向，這種具有偏向性的振動(dòng)狀態(tài)為偏振。偏振面為oxz平面的偏振光沿z軸傳播的單色平面波的簡諧波動(dòng)形式：zEyBx§2.2球面波及高

4、斯波單色平面波并不是Maxwell方程組唯一的解，一些在光學(xué)中經(jīng)常遇到的波如：球面波和高斯波也是它的解。一、球面波與高斯波的產(chǎn)生及特點(diǎn)球面波1.產(chǎn)生：從點(diǎn)光源發(fā)出的傳播到不太遠(yuǎn)距離處的光波2.特點(diǎn)：等相位面和等振幅面都為球面高斯波1.產(chǎn)生：從激光器發(fā)出的光波（激光）2.特點(diǎn)：等相位面上的光強(qiáng)（振幅）呈高斯函數(shù)分布可得一、球面波球面波采用球面坐標(biāo)系。把球心取作坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則k與r的方向永遠(yuǎn)相同，E的大小只與半徑r及時(shí)間t有關(guān)，所以可寫成E=E（r，t），把它代入該方程的解為式中A是一個(gè)常數(shù)討論：1、常數(shù)的面是等振幅面，對(duì)于單色光，它同時(shí)也是等相面，

5、都是球面2、球面波的振幅與傳播距離r成反比，即光強(qiáng)與距離平方r2成反比。zP0P(x,y)R[R2+(x2+y2)]1/2(x2+y2)1/2oP0（0，0，-R）RP(x,y)yxzo直角坐標(biāo)系中的球面波在oxy平面上的某點(diǎn)P（x，y）受到的該球面波的擾動(dòng)所具有的復(fù)振幅為由于所以zP0P(x,y)R[R2+(x2+y2)]1/2(x2+y2)1/2oU(0)為波源發(fā)出的球面波傳到坐標(biāo)原點(diǎn)處的復(fù)振幅討論：1.在一定的近似條件下，球面波可以在直角坐標(biāo)系中描述2.xoy平面并不是球面波的波面，不是等相位面和等振幅面3.但當(dāng)R足夠大的情況下，xoy平面可

6、近似認(rèn)為是等振幅面斜入射波的表述若令平面波面法線方向的單位矢量為1、斜入射的平面波的表達(dá)式為U(0,0)為入射的平面波到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的復(fù)振幅，其指數(shù)項(xiàng)是由于斜入射而引入的相位值。2、斜入射的球面波的表達(dá)式為式中包含了斜入射及球面波這兩種形式所帶來的結(jié)果。其中高斯光束包括了平面波因子球面波因子和二維高斯函數(shù)激光光波的波面（等相位面）是球面，但其球面半徑R隨距離z而變；當(dāng)z=0或時(shí)，R都為無窮大，即為平面波。三、高斯波激光光波波面上的光場分布是高斯分布。其場強(qiáng)在中心（x=y=0）處最大，為（W0/W）。隨著x、y增大，場強(qiáng)減小。當(dāng)x2+y2=W2時(shí)，場

7、強(qiáng)降低到中心處的1/e，W為光束的寬度。激光束的寬度在z=0時(shí)最小，W0為光束的腰。zW0x，yx，yz1z2z=0處的光場振幅分布z=z1處的波面z=z2處的波面光場振幅降為e-1處的軌跡θ/2e-1由于在腰處的光束最小，故離腰較遠(yuǎn)處的光波可看作是以腰為球心的球面波。高斯光束的發(fā)散角§2.3光在均勻介質(zhì)中的傳播一、光在介質(zhì)中的傳播1、在介質(zhì)中麥克斯韋方程組jc為傳導(dǎo)電流密度矢量，ρ為自由電荷密度介質(zhì)中的電磁性質(zhì)由電位移矢量D和磁場強(qiáng)度矢量H來描述。2、物態(tài)方程εr為該介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，μr為相對(duì)磁導(dǎo)率，jc與介質(zhì)的固有物性相關(guān)。對(duì)于透明介質(zhì)材料

8、，jc=0并可取ρ=0，對(duì)于非鐵磁性介質(zhì)，μr≈1。3、波動(dòng)方程(waveequation)透明介質(zhì)真空4、在介質(zhì)中的參量