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《變分法與邊值問(wèn)題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第6章變分法與邊值問(wèn)題通過(guò)求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問(wèn)題的解，這種理論和方法通常叫作偏微分方程中的變分原理，簡(jiǎn)稱變分方法。本章通過(guò)求解一類邊值問(wèn)題和特征值問(wèn)題簡(jiǎn)單介紹該方法的理論及其應(yīng)用。第6章變分法與邊值問(wèn)題6.1邊值問(wèn)題與算子方程6.1.1薄膜的橫振動(dòng)與最小位能原理考慮張?jiān)谄矫嬗薪鐓^(qū)域上的均勻薄膜在垂直于平面的外力作用下的微小橫振動(dòng)，薄膜的邊緣固定在上。利用微元分析法可得薄膜的總位能為其中，T表示張力，F(xiàn)(x,y)表示外力面密度，u(x,y)表示薄膜在點(diǎn)(x,y)出垂直于平面方向的位移。由于薄膜邊緣固定,故可見(jiàn),(6.
2、1.1)是定義在容許函數(shù)類上的泛函。第6章變分法與邊值問(wèn)題類似于5.2.5小節(jié)中對(duì)Dirichlet原理的討論，可知泛函（6.1.1）的極小函數(shù)就是Poisson方程Dirichlet問(wèn)題的解；反之邊值問(wèn)題（6.1.2)的解u也是泛函(6.1.1)的極小函數(shù),即于是,我們可以用變分方法得到邊值問(wèn)題(6.1.2)的解.值得注意的是,為了保證極小函數(shù)的存在性,有時(shí)必須將容許函數(shù)類擴(kuò)大.此時(shí)我們得到的不一定是邊值問(wèn)題的古典解而是弱解.第6章變分法與邊值問(wèn)題6.1.2正算子與算子方程我們稱滿足等式（Au,v)=(Av,u)的算子A為對(duì)稱算子。設(shè)A是定義
3、在Hilbert空間H的某一線性稠密子集上的線性算子，若對(duì)中的任意元素u，有且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)u=0,則稱A是正算子。第6章變分法與邊值問(wèn)題應(yīng)用取Hilbet空間為第6章變分法與邊值問(wèn)題可以驗(yàn)證，它們各自對(duì)應(yīng)的算子是正算子。對(duì)應(yīng)于以上三種問(wèn)題算子的定義域分別為第6章變分法與邊值問(wèn)題6.1.3正定算子弱解存在性設(shè)A是上的線性算子，若存在常數(shù)對(duì)任意有則稱算子A是上的正算子。在上引入新內(nèi)積由此內(nèi)積誘導(dǎo)的新范數(shù)記為第6章變分法與邊值問(wèn)題第6章變分法與邊值問(wèn)題第6章變分法與邊值問(wèn)題6.2Laplace算子的特征值問(wèn)題本節(jié)考慮如下的Laplace算子特征值
4、問(wèn)題：第6章變分法與邊值問(wèn)題6.2.1特征值與特征函數(shù)的存在性第6章變分法與邊值問(wèn)題第6章變分法與邊值問(wèn)題6.2.2特征值與特征函數(shù)的性質(zhì)第6章變分法與邊值問(wèn)題
