【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)】論文——電教室座位安排的數(shù)學(xué)模型

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1、電教室座位安排的數(shù)學(xué)模型摘要：就電教室座位的設(shè)計問題，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.并通過數(shù)學(xué)軟件對模型求解及結(jié)合所給參數(shù)，解決了電教室中最佳座位的安排問題；通過構(gòu)造一個滿意度函數(shù)，解決了使學(xué)生平均滿意度最大的地面傾角設(shè)計方案，認為將傾角設(shè)計成在240~300之間有比較好的效果；并討論了進一步提高學(xué)生滿意度的地板設(shè)計方案；認為在考慮實際情況時的實用性，美觀性，合理性及施工難度等情況下可將地面設(shè)計成拋物線形狀.關(guān)鍵詞：滿意度；平均滿意度；傾斜角1問題的提出：隨著科技的發(fā)展，不少高校為了更好貫徹素質(zhì)教育，都相應(yīng)建立有電教室，

2、電教室一般都比較大，相應(yīng)就存在如下問題：如果室內(nèi)座位按水平擺放的話，后排學(xué)生就被前排學(xué)生擋?。粚W(xué)生的視角（即眼睛至屏幕下邊的視線夾角）如果太小，則影響教學(xué)效果，學(xué)生也感到不滿意；學(xué)生的仰角（即眼睛看到屏幕上邊需要上仰頭部的角度）太大學(xué)生有不適感覺，一般要求.因此處理辦法是將地板設(shè)計成傾斜式，設(shè)傾角為現(xiàn)有電教室切面圖（見圖1）及相關(guān)數(shù)據(jù)，討論以下問題：①最佳座位在何處②地板傾角如何,才能使所有學(xué)生的平均滿意度最大，相應(yīng)最佳座位又在哪③地板線設(shè)計成什么形狀，可以進一步提高學(xué)生滿意度附表：參數(shù)值（米）4.51.218.

3、815.911.1電教室數(shù)據(jù)表2問題的分析：因為學(xué)生的滿意度是的遞增函數(shù)，是的遞減函數(shù)，因此衡量學(xué)生滿意度的時候應(yīng)同時考慮的值與的值對滿意度的影響，因此很自然就想到可以構(gòu)造一個合理的滿意度函數(shù)去衡量學(xué)生的滿意度，并借助滿意度函數(shù)來討論地面傾角的設(shè)計及地面形狀.在實際當中，座位的安排一般不會使學(xué)生的仰角大于30度，故最佳座位位置應(yīng)在范圍內(nèi)求出使最大時所對應(yīng)的位置即是最佳座位了.地板線圖1電教室切面圖圖3符號約定與模型假設(shè)：3.1符號定義：5：視角：仰角：座位離屏幕的距離：教室高度：屏幕高：第一排座位離屏幕距離：最后

4、一排座位離屏幕距離：地板傾角：座位高：某排座位的滿意度函數(shù)：總滿意度函數(shù)：平均滿意度函數(shù)3.2模型假設(shè)1)不考慮教室兩旁座位對值的變化，即將同排座位上各處的視角視為相同2)不考慮學(xué)生對屏幕內(nèi)容的清晰度對滿意度的影響3)學(xué)生的眼睛離地面高度與座位高相同1模型的建立與求解4.1最佳座位計算的模型以水平地板為軸，屏幕所在直線為軸建立直角坐標系（如圖2）圖2　電教室座標圖設(shè)某一排坐位中學(xué)生眼睛坐標為.則：,.所以座位在處時：.設(shè)眼睛看屏幕下邊的視線與水平線夾角為則：,.5所以座位在處時的視角為：（1）但由于越大，學(xué)生越滿

5、意，所以問題的核心是求的最大值.但是它必須在條件下才符合要求.寫成規(guī)劃形式即為：運用數(shù)學(xué)軟件[1]求解此規(guī)劃可得最佳位置：.(2)但上式的成立須滿足一定條件，因為受限制，而最后一排座位受值限制，故由這些限制可寫出限制條件：(4)(5)(3)當各參數(shù)滿足（3）、（4）、（5）式時，最佳座位表達式（2）式才成立.4.2地板傾角設(shè)計的模型：為了衡量學(xué)生滿意度，必須構(gòu)造一個滿意度函數(shù)，函數(shù)形式不能太復(fù)雜，否則對問題的求解造成很大不便.因為滿意度是的遞增函數(shù)，所以我們不妨假設(shè)滿意度就是的簡單線性關(guān)系,其中是滿意度系數(shù).另外

6、，每個值都對應(yīng)一個值，即學(xué)生視線都存在一個仰角，如果認為時，學(xué)生對仰角無任何抱怨的話，顯然不太合理.故應(yīng)設(shè)抱怨度為的線性遞增函數(shù)，其中是抱怨系數(shù).因此，我們可以構(gòu)造滿意度函數(shù)：,其中且，否則滿意度將有可能出現(xiàn)負數(shù).實際當中，我們有理由認為滿意度都是不小于零的，即：.給出滿意度函數(shù)后，須先求出總滿意度.由于教室座位不連續(xù)，在不知道座位總排數(shù)的情況下很難求出，應(yīng)將座位安排連續(xù)化，這不影響對問題的討論,則：,5平均滿意度：.為求出的極值（最大值），先將對求導(dǎo)數(shù)[2].且令：,可得穩(wěn)定點：.確定就可確定，由于滿意度只是一

7、個相對的衡量標準，故的值不必取得太大.不妨?。ㄊ聦嵲谟嬎氵^程中發(fā)現(xiàn)的值對影響不大，只影響平均滿意度）.以下給出對不同值求出的值及根據(jù)（2）式求出的值和值：參數(shù)(度)(米)0.00125.267.020.1030.00326.307.320.103數(shù)值0.00527.397.660.1030.00728.418.000.1030.0129.978.570.103地板傾角與最佳位置對應(yīng)值表表中的是根據(jù)問題一求解得到的結(jié)果（2）式得來的，但此結(jié)果需滿足（3）、（4）、（5）式.但將值代入檢驗得條件不符合.故最佳座位不能

8、使用（2）式求解.為了求出此時的最佳座位，令，可得穩(wěn)定點時，對應(yīng)值最大，但故此時最佳座位應(yīng)在第一排，即處.以下給出各值對應(yīng)最大值時的值：參數(shù)(度)（米）25.265.0225.305.10數(shù)據(jù)27.395.1728.415.2529.975.35最佳座位對應(yīng)數(shù)據(jù)表4.3地板形狀設(shè)計的模型在4.1中，這里可以看成地板線是一條直線方程.改變地板形狀，相當于改變直線方程.但直線