專題-圓錐曲線中和最值和范圍問題

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1、.高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓錐曲線中的最值問題和范圍的求解策略最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點(diǎn)也是歷年高考的熱點(diǎn)。解決這類問題不僅要緊緊把握?qǐng)A錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識(shí)。以下從五個(gè)方面予以闡述。一．求距離的最值或范圍：例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點(diǎn)M到直線y+1=0的最短距離為，解析：拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線為y=，過A、B、M準(zhǔn)線y=的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM1+=(AA1+BB1)+=(AF+BF)+≥AB+=×4+=,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)，d取最小值，評(píng)注：靈活運(yùn)用拋物線

2、的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。練習(xí)：1、(2008海南、寧夏理)已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，－1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（A）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）2、（2008安徽文）設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知過點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：;（Ⅲ）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求的最小值解：（1）由題意得：橢圓的方程為(2)方法一：由（1）知是橢圓的左焦點(diǎn)，離心率設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則作，與軸交于點(diǎn)H(如圖)點(diǎn)A在橢圓上......

3、同理。方法二：當(dāng)時(shí)，記，則將其代入方程得設(shè)，則是此二次方程的兩個(gè)根.................(1)代入（1）式得........................(2)當(dāng)時(shí)，仍滿足（2）式。（3）設(shè)直線的傾斜角為，由于由（2）可得，yO...Mx.當(dāng)時(shí)，取得最小值3、我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓”與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：（1），..

4、....，于是，所求“果圓”方程為，．（2）設(shè)，則，，的最小值只能在或處取到．即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處．（3），且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．．當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是．當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是．綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．4、已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求

5、PQ

6、的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)

7、PQ

8、最大，因此要求

9、PQ

10、的最大值，只要求

11、O1Q

12、的最

13、大值.設(shè)Q(x，y)，則

14、O1Q

15、2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得

16、O1Q

17、2=9(1-y2)+(y-4)2因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1￡y￡1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)二．求角的最值例2．M，N分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，l是橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在l上，則∠MPN的最大值是.解析：不妨設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，其方程是，點(diǎn)，直線PM和PN傾斜角分別為.......∵∴于是∵∴即∠MPN的最大值為.評(píng)注：審題時(shí)要注意把握∠MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)在聯(lián)系.練習(xí)：1、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,-2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；

18、（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。（1）解：依題意e，∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為∴橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為(2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分∴直線l的斜率存在。設(shè)直線l：y＝kx＋m由消去y，整理得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0即m2－k2－9＜0①設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)②把②代入①式中得，∴k＞或k＜－∴直線l傾斜角三、求幾何特征量代數(shù)和的

19、最值例3.點(diǎn)M和F分別是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)和右焦點(diǎn)，定點(diǎn)B(2,2).⑴求

20、MF

21、+

22、MB

23、的最小值.⑵求

24、MF

25、+

26、MB

27、的最小值.......解析：易知橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)，左焦點(diǎn)F′(-4,0)，離心率e=，準(zhǔn)線方程x=±.⑴

28、MF

29、+

30、MB

31、=10―

32、MF′

33、+

34、MB

35、=10―（

36、MF′

37、―

38、MB

39、）≥10―

40、F′B

41、=10―2.故當(dāng)M，B，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，

42、MF

43、+

44、MB

45、取最小值10―2