《次樣條插值》ppt課件

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1、第八節(jié)三次樣條插值一、問題的提出分段低次插值雖然具有計(jì)算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，但它只能保證各小曲線在連接點(diǎn)上的連續(xù)性，卻不能保證整條曲線的光滑性，這就不能滿足某些工程技術(shù)上的要求。下面將要介紹的樣條插值方法構(gòu)造的樣條函數(shù)可以保留分段低次插值得優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性。如今在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，形成了極其重要的分支。樣條函數(shù)所謂樣條函數(shù)，從數(shù)學(xué)角度理解，就是按一定光滑性要求“裝配”起來的分段多項(xiàng)式。具體有：稱具有分劃的分段次多項(xiàng)式為次樣條函數(shù)。如果它在

2、每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。點(diǎn)則稱作樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)。特點(diǎn)：光滑性即外形美觀，間斷性則使它能轉(zhuǎn)折自如，即靈活。二、三次樣條插值的定義實(shí)質(zhì)：分段插值。特點(diǎn)：插值函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。三次樣條插值的實(shí)質(zhì)與特點(diǎn)三、邊界條件問題的提出與類型如何根據(jù)條件確定一個(gè)三次樣條插值函數(shù)。邊界條件的類型(1)已知一階導(dǎo)數(shù)值；(2)已知二階導(dǎo)數(shù)值；(3)被逼近函數(shù)是周期函數(shù)。邊界條件：在確定三次樣條插值函數(shù)時(shí)，所缺少的兩個(gè)條件由插值區(qū)間[a,b]的邊界點(diǎn)a、b處給出，這個(gè)條件通常被稱為邊界條件。解決的辦法：引入邊界

3、條件。邊界條件的類型(1)已知一階導(dǎo)數(shù)值：(2)已知二階導(dǎo)數(shù)值：(3)被逼近函數(shù)是周期函數(shù)：四、三次樣條插值函數(shù)的求法定理3（三次樣條函數(shù)的存在唯一性）對于給定的函數(shù)表，并滿足第一或第二或第三邊界條件的三次樣條插值函數(shù)S(x)是唯一存在的。求三次樣條插值函數(shù)的基本思想：先利用一階（或二階）導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性以及邊界條件，列出確定二階（一階）導(dǎo)數(shù)(例如：的線性方程組，并由此解出，然后用來表達(dá).問題9求作具有分劃的三次樣條，使得滿足方法：樣條函數(shù)的構(gòu)造用待定系數(shù)法。問題：關(guān)鍵在于參數(shù)導(dǎo)數(shù)值的選擇

4、。其中，而三次樣條插值函數(shù)為：不論如何確定參數(shù)，這樣構(gòu)造出的三次樣條插值函數(shù)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上均連續(xù)且有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在的問題是如何確定參數(shù)使其二階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。對求兩次導(dǎo)數(shù)，并計(jì)算在子區(qū)間的端點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值有為了保證二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，要求成立即要求（36）與（37）相容，即把（37）式中的i+1改寫為i,i改寫為i-1，因而有把（37’）和（36）式代入（38），有令則有并注意到差商因而有三對角方程組（基本方程組）其系數(shù)行列式是一個(gè)三對角行列式，在后面將用追趕方法求其解，于是得到分段插值多項(xiàng)式，即三

5、次樣條函數(shù)。基本步驟：構(gòu)造已知條件（由三次樣條函數(shù)的特征）；積分（反推）；確定系數(shù)：；確定：求出：利用邊界條件，例如：五、應(yīng)用：求三次樣條插值函數(shù)解：第一步：計(jì)算節(jié)點(diǎn)間隔差商，確定例7已知函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值如下：在區(qū)間[-1.5,2]上求三次樣條插值函數(shù)S(x)，使得滿足邊界條件（見易大義P62）.即有于是，有由第（1）邊界條件第二步：求滿足的線性方程組；第三步：求出;第四步：寫出三次樣條插值函數(shù)S(x).注釋：把二階導(dǎo)數(shù)作為參數(shù)。補(bǔ)：數(shù)值微分—多項(xiàng)式插值的應(yīng)用主要內(nèi)容：利用多項(xiàng)式插值，討

6、論函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的近似值求法。一、利用插值多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的原理與常用公式1、定義1：若函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值已知，作f(x)的n次插值多項(xiàng)式，并用近似代替f(x)，即由于是多項(xiàng)式，容易求其導(dǎo)數(shù)，故對應(yīng)于f(x)的每一個(gè)插值多項(xiàng)式，建立一個(gè)數(shù)值微分公式這樣建立起來的數(shù)值微分公式，稱為插值型微分公式。2、帶有余項(xiàng)的數(shù)值微分公式：其中之間，上式第一項(xiàng)是的近似值，第二項(xiàng)事相應(yīng)的截?cái)嗾`差。3、帶有余項(xiàng)的兩點(diǎn)數(shù)值微分公式：（n=1）類似可以得到n=2的帶余項(xiàng)的三點(diǎn)公式,n=2的帶余項(xiàng)的二階三點(diǎn)公式。

7、二、三次樣條插值函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的原理與常用公式1、定義2：對于給定函數(shù)表和適當(dāng)?shù)剡吔鐥l件，有三次樣條插值函數(shù)S(x)，并用S(x)近似代替f(x)，即由于S(x)是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式，在各子區(qū)間上容易求出其導(dǎo)數(shù)，故建立一個(gè)數(shù)值微分公式：例8：利用函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和邊界條件構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)S(x)，并用它來計(jì)算和在下列點(diǎn)的處的近似值。插值法是一個(gè)古老而實(shí)用的數(shù)值方法。它不僅是數(shù)值微分、數(shù)值積分、函數(shù)逼近以及微分方程數(shù)值解等數(shù)值分析的基礎(chǔ)，而且在許多實(shí)際問題中，也有直接的應(yīng)用。這里只簡要介紹了有

8、關(guān)插值法的一些基本概念、多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)理論和幾個(gè)常用的插值方法，例如拉格朗日插值公式、牛頓基本插值公式和僅適用于等距節(jié)點(diǎn)下的牛頓向前(后)插值公式，以及應(yīng)用最廣且有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值。作為一種直接應(yīng)用，也介紹了利用插值法求導(dǎo)數(shù)的基本原理和常用公式。小結(jié)實(shí)際上，插值法的內(nèi)容，包括插值函數(shù)類的選擇，公式的構(gòu)造與應(yīng)用，誤差的估計(jì)，以及收斂性、穩(wěn)定性的討論等，都是十分豐富的。作業(yè)：p5634